El uso de la regla de la cadena en la física

Question

A menudo veo en la física que, decimos que podemos multiplicar infinitesimales para utilizar la regla de la cadena. Por ejemplo,

$$ \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot v(t)$$

Pero, lo que me molesta de esto es que me plantea algunas cuestiones serias de existencia; cuando decimos que tomamos la derivada de $v$ velocidad con respecto a la distancia, es decir, podemos escribir la velocidad en función de la distancia. Pero, ¿cómo sabemos que esto es siempre posible? Es decir, cuando hacemos estas multiplicaciones de diferenciales estamos asumiendo implícitamente que $v$ puede pasar de ser una función del tiempo a una función del desplazamiento.

Veo que esto se utiliza de forma omnipresente, y hay algunas variaciones más locas que he visto de intercambiar literalmente los diferenciales como $ dv \frac{dm}{dt} = dm \frac{dv}{dt}$ como muestra la respuesta del usuario "Fakemod" en este puesto de la pila .

Answer 1

Es cierto que no se puede escribir (globalmente) la velocidad en función de la distancia. Por ejemplo, como ya ha mencionado un comentarista, lanza una pelota directamente al aire y espera a que baje. Cuando la pelota está en la altura $h$ al subir, tiene una velocidad positiva (dirigida hacia arriba). Cuando está a la misma altura $h$ al bajar, tiene una velocidad negativa (dirigida hacia abajo). Así que la velocidad no es definitivamente una función (global) de la distancia.

Pero esto es cierto: Para cualquier altura $h$ excepto para la altura máxima que alcanza la bola, hay un intervalo abierto alrededor de $h$ --- un cierto rango de alturas desde $h-\epsilon$ a $h+\epsilon$ --- en el que se puede tratar la velocidad como una función bien definida de la altura mientras la pelota está subiendo, y otra función bien definida de la altura mientras la pelota está bajando. Y además esa función es diferenciable y obedece a la regla de la cadena. Todo esto forma parte del contenido del teorema de la función implícita que puedes buscar en Google.

Si sólo escribes la velocidad como una función de la altura, tienes que tener cuidado de dejar claro por el contexto a cuál de las dos funciones -la función "en el camino hacia arriba" y la función "en el camino hacia abajo"- te estás refiriendo. También tienes que asegurarte de que no intentas hacer este truco cuando la pelota está en el punto más alto de su trayectoria (o más generalmente, en puntos donde su velocidad es cero). Muchos libros dan por sentado que estás siendo cuidadoso con esto, así que no tienen que preocuparse por ello en tu nombre.

Answer 2

Bueno, esto es lo más común por lo que los matemáticos se burlan de los físicos. Porque no nos molestamos en cancelar las derivadas, y "NUNCA" comprobamos si podemos implicar alguna regla en nuestras ecuaciones. La cuestión es que casi todas las funciones que pueden aparecer en la naturaleza o en los sistemas de la vida real son, en la mayoría de los casos, continuas y diferenciables. Hay, por supuesto, algunos casos especiales. Pero para la mayoría de las tareas simples, por ejemplo, la mecánica, esto es bastante válido.

Así que en el caso de $v$ . Para definir la velocidad, el objeto tiene que cambiar su posición en algún tiempo. Y además, en la vida real no tenemos una velocidad infinita. Esto implica que $dx/dt$ tiene siempre ese valor no infinito. De esto se deduce que $v$ puede reescribirse como función de $t$ o $x$ .

No estoy seguro de si hay un caso especial o no, pero para los físicos no es importante, porque en el 99,9% será cierto. Si hay casos especiales, podrían ser "obviamente extraños". Hay que tener en cuenta que, al menos en teoría, siempre comprobamos nuestros cálculos con el experimento, por lo que tenemos una prueba experimental en lugar de una matemática (generalmente).

Answer 3

Es cierto que en la naturaleza sólo hay un verdadera variable independiente, el tiempo. Todas las demás son "pseudoindependientes". Son variables que el ser humano bendice como independientes para responder a escenarios hipotéticos y establecer modelos matemáticos de sistemas por medio de la separación de variables. El término común para estas cantidades "pseudoindependientes" es coordenadas generalizadas .

Observar un sistema mecánico complejo, como un humano que lanza una pelota mientras va en monopatín. En primer lugar, decidimos cuáles son los grados de libertad y les asignamos coordenadas generalizadas. Se trata de cantidades simples y medibles de distancia, ángulo o cualquier otra cosa geométrica que forman un vector de coordenadas generalizado $$\boldsymbol{q} = \pmatrix{x_1 \\ \theta_2 \\ \vdots \\ q_j \\ \vdots} \tag{1}$$ En este ejemplo hay $n$ grados de libertad. Todas las posiciones de los puntos importantes de nuestros mecanismos se pueden encontrar a partir de estos $n$ cantidades. Si hay $k$ puntos duros cinemáticos (como articulaciones, centros geométricos, etc.) entonces el $i=1 \ldots k$ el vector de posición cartesiano es una función de las coordenadas generalizadas y del tiempo $$ \boldsymbol{r}_i = \boldsymbol{\mathrm{pos}}_i(t,\, \boldsymbol{q}) \tag{2}$$

Aquí viene la parte de la regla de la cadena. Con la suposición de que (2) es diferenciable con respecto a las coordenadas generalizadas, y que las condiciones de contacto no cambian debido a la separación, o la pérdida de tracción, los vectores de velocidad de cada uno de los puntos duros se encuentra por la regla de la cadena

$$ \boldsymbol{v}_i = \boldsymbol{\mathrm{vel}}_i(t,\,\boldsymbol{q},\,\boldsymbol{\dot{q}}) = \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial t} + \frac{\partial \boldsymbol{r}_i }{\partial x_1} \dot{x}_1 + \frac{\partial \boldsymbol{r}_i }{\partial \theta_2} \dot{\theta}_2 + \ldots + \frac{\partial \boldsymbol{r}_i }{\partial q_j} \dot{q}_j + \ldots \tag{3} $$ donde $q_j$ es el j -ésimo elemento de $\boldsymbol{q}$ y $\dot{q}_j$ su velocidad (siendo lineal o angular).

Lo anterior no es una división de infinitesimales, sino la multiplicación de una derivada parcial $\tfrac{\partial \boldsymbol{r}_i }{\partial q_j}$ con la velocidad del grado de libertad de la coordenada particular $\dot{q}_j$ .

Tal vez te sientas más cómodo con esta notación más rigurosa usando derivadas parciales que lo que has visto hasta ahora. El término derivada parcial significa, tomar la derivada variando sólo una cantidad y manteniendo todas las demás constantes. Esto es lo que nos permite utilizar cantidades pseudoindependientes $q_j$ para la evaluación de la verdadero derivada con el tiempo (la única cantidad real independiente).

La misma lógica se aplica también a las derivadas superiores

$$ \boldsymbol{a}_i = \boldsymbol{\rm acc}_i(t,\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q}) = \frac{\partial \boldsymbol{v}_i}{\partial t} + \ldots + \frac{ \partial \boldsymbol{v}_i}{\partial q_j}\, \dot{q}_j + \ldots + \frac{ \partial \boldsymbol{v}_i}{\partial \dot{q}_j} \,\ddot{q}_j \tag{4} $$

La última parte puede ser un poco confusa, pero si se expresa en términos de grados de libertad reales puede quedar claro. Considere el grado de libertad $\theta_2$ y sus derivadas temporales $\omega_2$ y $\alpha_2$ . Entonces los términos $\frac{ \partial \boldsymbol{v}_i}{\partial \theta_2} \omega_2 $ y $\frac{ \partial \boldsymbol{v}_i}{\partial \omega_2} \alpha_2 $ son más claras, espero, ya que $\boldsymbol{v}_i$ depende tanto de la posición $\theta_2$ y la velocidad $\omega_2$ .

Answer 4

Me gusta esta pregunta y ya hay algunas buenas respuestas. No voy a repetirlas, pero quería añadir un par de puntos centrados en la segunda parte de tu pregunta sobre el "intercambio" de diferenciales.

La primera es que la presencia de una cantidad diferencial es una abstracción que normalmente sólo es útil como paso intermedio para calcular otra cosa. Con esto quiero decir que nunca medir algo así como $\rho\ dV$ directamente. Sólo se puede esperar medir:

1. La integral de esa cantidad $\int \rho\ dV$ sobre un cierto volumen (equivalentemente, se sale de la abstracción y se mide $\rho \Delta V$ para algún volumen finito $\Delta V$ ) -O--
2. El "cociente de diferenciales" (siendo deliberadamente flojo por el momento), que en el límite es una derivada. Así que una expresión como $f(t) dt = g(x) dx$ se "divide a través" de ser $f(t) = g(x) (dx/dt) = g(x)v(t)$ . Creemos que sabemos cómo medir los cambios en las cantidades y los gradientes.

Esto es relevante para la segunda parte de tu pregunta sobre el "intercambio" de diferenciales porque cuando se hace legítimamente, normalmente funciona porque en última instancia vas a poner esa expresión bajo un signo integral, y la notación refleja convenientemente (algunos podrían preferir decir que la notación es fácilmente abusada al aplicar) la regla de integración por sustitución $$ \int_a^b f(g(x)) g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$$ que se puede reescribir en notación de Leibnitz para $u = g(x)$ y conseguir la apariencia de que está intercambiando o anulando diferenciales.

Sin embargo, dado que la regla de integración por sustitución es básicamente la regla de la cadena a la inversa, todo esto plantea la pregunta inicial de por qué la regla de la cadena es válida en física. Para ello, me remito a las otras respuestas ya buenas.

Answer 5

lo que significa que podemos escribir la velocidad en función de la distancia

Eso no es bastante el significado previsto. Más bien, el significado pretendido es:

Si se podría escribir la velocidad como una función de la distancia en el dominio de interés, entonces la ecuación se mantendría.

Depende de ti deducir si esa suposición puede cumplirse satisfactoriamente en el problema, pero normalmente es bastante obvio que sí.

Una forma de ver esto es que se puede restringir artificialmente el dominio a la porción de espacio y tiempo que es de interés y despreciar el resto del dominio, y luego argumentar que esta suposición se mantendría allí.
(Obsérvese que básicamente acabo de reformular la noción de continuidad de un límite aquí).

La única manera de que esto sea falso en su ejemplo particular es que haya múltiples velocidades en un momento dado (o ninguna velocidad), lo que generalmente no tendría sentido en el mundo cotidiano (continuo) con el que estamos familiarizados.

Y si la discusión es sobre algo inusual frontera condición en la que no se puede tomar un límite en todos los lados y mostrar que el problema es continuo, entonces no lo haría leer tal afirmación sobre esa situación sin algún otro tipo de indicación (implícita o explícita) de por qué es cierta.