En la definición de producto interior, tenemos $\langle v, v \rangle\geq0$ para todos $v \in V$ . ¿Y si el campo subyacente son los números complejos? Entonces $\langle v, v \rangle\ \in \mathbf{C}$ . Pero entonces, ¿cómo definimos que un número complejo es mayor que $0$ ?
Respuesta
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La relación $\geq$ en la definición de positividad no pretende ser una relación sobre $\mathbb{C}$ sino más bien la habitual $\geq$ relación sobre $\mathbb{R}$ .
La justificación por la que esto está efectivamente bien definido (es decir, por qué $\langle v, v \rangle \in \mathbb{R} \ \ \forall v \in V$ ) se encuentra en la propiedad de simetría para un produkt interior: $ \langle v, v \rangle = \overline{\langle v, v \rangle}$ . De ello se deduce inmediatamente que $\langle v, v \rangle \in \mathbb{R}$
