Dejemos que $R$ sea un dominio y $\tilde R$ su cierre integral en su campo de fracciones: $R\subset \tilde R\subset Frac(R)$ .
¿Es cierto que un ideal primo $ \tilde {\mathfrak p} \subset \tilde R$ y su rastro $\mathfrak p= \tilde {\mathfrak p}\cap R\subset R$ están relacionados por la igualdad de alturas $$ ht(\tilde {\mathfrak p})=ht(\mathfrak p)\quad (?)$$ Esto es así, por ejemplo, si $R$ está generado finitamente sobre un campo, ya que entonces tenemos la relación $$\operatorname {dim }(R)=\operatorname {dim }(R/\mathfrak p)+ht(\mathfrak p)$$ y la relación similar $$\operatorname {dim} (\tilde {R})=\operatorname {dim }(\tilde R/\tilde {\mathfrak p})+ht(\tilde {\mathfrak p})$$ Como la dimensión se conserva en las extensiones de anillos integrales, tenemos $$\operatorname {dim }(\tilde R)=\operatorname {dim }(R)\quad, \quad \operatorname {dim }(\tilde R/\tilde {\mathfrak p})=\operatorname {dim }(R/\mathfrak p)$$ a partir de la cual la igualdad cuestionada $ ht(\tilde {\mathfrak p})=ht(\mathfrak p)$ sigue.
Pero, ¿es la igualdad $(?)$ ¿es cierto en general, es decir, sin la hipótesis de generación finita sobre un campo?
[La motivación de mi pregunta proviene en parte de esta respuesta y los comentarios que provocó]
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La respuesta para un dominio noetheriano conmutativo general es "no". Lo siguiente es una adaptación de un artículo que escribí con Jay Shapiro hace unos años.
Considere el libro de Nagata Anillos locales , apéndice, ejemplo 2 (véase también el proyecto Stacks, etiqueta 02JE). Estoy cambiando la notación y especializándome un poco (poniendo su parámetro $m$ a $0$ ), pero básicamente es así. Primero construye $S$ un dominio noetheriano normal con exactamente dos ideales máximos ${\frak m}_1, {\frak m}_2$ , tal que la altura $({\frak m}_i)=i$ para $i=1,2$ y un campo $k$ junto con un mapa anular inyectivo $k \hookrightarrow S$ tal que los mapas compuestos $k \rightarrow S/{\frak m}_1$ , $k \rightarrow S/{\frak m}_2$ son isomorfismos. (Creo que esto ya es imposible para los excelentes $k$ -). Entonces dejemos que $J := {\frak m}_1 \cap {\frak m}_2$ y $R := k+J$ . Entonces $S$ es un módulo finito sobre $R$ debido a cómo funcionan los pullbacks de los anillos, y es elemental que sus campos de fracción coincidan, por lo que $S=\tilde R$ y por el teorema de Eakin-Nagata $R$ es noetheriano.
Pero entonces ${\frak m}_1 \cap R = J$ que tiene altura 2 porque es el único ideal máximo del anillo local bidimensional $R$ aunque ${\frak m}_1$ tiene una altura de 1.
Por otro lado, si $R$ es universalmente catenaria, entonces la respuesta es "sí": la altura se conserva al contraer primos de $\tilde R$ a $R$ . Esto se deduce de dos resultados de Ratliff. En primer lugar, el uso de [ Notas sobre tres teoremas de dependencia integral J. Algebra, 1980, Corolario 2.5], que dice que todo lo que necesitamos comprobar es que para cualquier $f\in \widetilde{R[X]}$ la altura se conserva al contraer los primos de $R[X,f]$ a $R[X]$ . Pero como $R[X]$ es universalmente catenaria, el teorema de Ratliff sobre (dado como Teorema 15.6 en la obra de Matsumura Teoría de anillos conmutativos ) dice que la fórmula de la dimensión (la que implica los grados de trascendencia) se mantiene entre $R[X]$ y $R[X,f]$ (ya que $R[X,f]$ se genera finitamente como un $R$ -). Como los dos grados de trascendencia implicados son entonces 0, se deduce que la contracción de los primos entre estos dos anillos preserva la altura.
