Me dijeron que Reciprocidad de Weil teorema (se tienen dos funciones meromorfas $f,g$ en una curva compleja $C$ Así que $\prod\limits_{x\in C} g(x)^{ord_xf}=\prod\limits_{x\in C}f(x)^{ord_xg} \ $ donde $ord_xf$ es el grado más pequeño de la expansión de Taylor de $f$ en $x$ , el producto se toma sólo por puntos en los divisores de $f,g$ (suponemos que estos divisores no se cruzan entre sí) fue introducido por Weil después de pensar en la reciprocidad cuadrática. ¿Podría explicarme la relación entre ellos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Ya hay buenas respuestas de quid y de Dustin Clausen aquí . Sin embargo, pensé en tomarme el tiempo de escribir algo más pausado y expositivo. Para pasar de la Reciprocidad de Weil a la Reciprocidad Cuadrática, hay que hacer algunas cosas más generales y otras menos generales, y hay que elegir en qué orden hacer estas cosas. Primero describiré la ruta menos general y luego haré algunos comentarios sobre lo que ocurre cuando se hace todo lo más general posible.
En primer lugar, nos especializamos a partir de una curva general $C$ a $\mathbb{CP}^1$ . Sea $f$ y $g$ sean polinomios en $\mathbb{C}[x]$ con raíces en los conjuntos disjuntos $\alpha_1$ , ..., $\alpha_a$ y $\beta_1$ , ..., $\beta_b$ y con los términos principales $f(x) = f_{\infty} x^{a} + \cdots$ y $g(x) = g_{\infty} x^b + \cdots$ . Entonces la reciprocidad de Weil dice $$\prod_{j=1}^b f(\beta_j) = \prod_{i=1}^a g(\alpha_i) \cdot (-1)^{ab}\ f_{\infty}^{b} \ g_{\infty}^{-a}. \quad (1)$$ (Los términos adicionales de la derecha se deben a que $f$ y $g$ ambos tienen polos en $\infty$ (Francois habla de ello en un comentario más arriba).
Por supuesto, $(1)$ es fácil de demostrar directamente escribiendo $f(x) = f_{\infty} \prod (x-\alpha_i)$ y $g(x) = g_{\infty} \prod (x-\beta_j)$ . Además, esto deja claro que la identidad anterior se mantiene sobre cualquier campo algebraicamente cerrado.
Ahora generalizamos a un campo cerrado no algebraico $k$ . Sea $f$ y $g$ sean polinomios relativamente primos en $k[x]$ . Sea $f(x) = f_{\infty} r_1(x) r_2(x) \cdots r_c(x)$ sea la factorización de $f$ en irreducibles mónicos. Del mismo modo, dejemos que $g(x) = g_{\infty} s_1(x) \cdots s_d(x)$ . Sea $K_i$ sea el campo $k[x]/r_i(x)$ y que $L_j = k[x]/s_j(x)$ . Para $u$ y $v \in k[x]$ , voy a escribir $(u \bmod v)$ para la imagen de $u$ en $k[x]/v$ . La generalización de $(1)$ es $$\prod_{j=1}^d N_{L_j/k}(f \bmod s_j) = \prod_{i=1}^c N_{K_i/k}(f \bmod r_i) \cdot (-1)^{ab}\ f_{\infty}^{b} \ g_{\infty}^{-a}. \quad (2)$$
Ejercicio 1: Ver que, cuando $k$ es algebraicamente cerrado, $(2)$ se especializa en $(1)$ . Ejercicio 2: Deducir (2) de (1), agrupando los términos de $(1)$ en $k^{\mathrm{alg}}$ .
Nos especializamos ahora en el caso $k = \mathbb{F}_p$ . El mapa normativo de $\mathbb{F}_{p^n}$ a $\mathbb{F}_p$ está subiendo a la $(p^n-1)/(p-1)$ poder. Así que $(2)$ se convierte en
$$\prod_{j=1}^d (f \bmod s_j)^{\frac{p^{\deg s_j}-1}{p-1}} = \prod_{i=1}^c (f \bmod r_i)^{\frac{p^{\deg r_i}-1}{p-1}} \cdot (-1)^{ab}\ f_{\infty}^{b} \ g_{\infty}^{-a}. \quad (3)$$
Nos especializamos además en el caso de que $f$ y $g$ son irreducibles para obtener $$(f \bmod g)^{\frac{p^{b}-1}{p-1}} = (g \bmod f)^{\frac{p^{a}-1}{p-1}} \cdot (-1)^{ab}\ f_{\infty}^{b} \ g_{\infty}^{-a}. \quad (4)$$
Dejemos que $p$ ser impar, y elevar ambos lados a la $(p-1)/2$ para conseguir $$(f \bmod g)^{(p^b-1)/2} = (g \bmod f)^{(p^a-1)/2} \cdot (-1)^{ab(p-1)/2} \ f_{\infty}^{b (p-1)/2} g_{\infty}^{-a(p-1)/2}. \quad (5)$$
Recall El criterio de Euler : Para $u \in \mathbb{F}_p$ tenemos $u^{(p-1)/2} = \left( \frac{u}{p} \right)$ . Tiene una generalización: Para $u \in \mathbb{F}_{p^n}$ el poder $u^{(p^n-1)/2}$ es $\pm 1$ en función de si $u$ es cuadrado. Así, definiendo el símbolo de residuo cuadrático en $\mathbb{F}_p[x]$ de manera obvia, la ecuación $(5)$ dice $$\left( \frac{f}{g} \right) = \left( \frac{g}{f} \right) \cdot (-1)^{ab(p-1)/2} \ \left( \frac{f_{\infty}}{p} \right)^b \left( \frac{g_{\infty}}{p} \right)^{-a}. \quad (6)$$
En resumen, $\left( \frac{f}{g} \right)$ es igual a $\left( \frac{g}{f} \right)$ hasta algunos términos elementales, como en la reciprocidad cuadrática. Se pueden reescribir los términos elementales de corrección para que se parezcan más a los términos que aparecen en la QR estándar, pero lo dejaré como está.
Podemos obtener afirmaciones más generales si (a) no nos limitamos al caso de que $f$ y $g$ son irreducibles (b) trabajar con curvas $C$ que no sea $\mathbb{A}^1$ (c) levantando ambos lados de $(4)$ a la $(p-1)/g$ poder para algún otro $g$ dividiendo $p-1$ . Iba a escribir más sobre esto, pero creo que ya es suficientemente largo.
GodEater
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John Milnor's Introducción a la teoría K algebraica (en la página 101) tiene algunos antecedentes útiles sobre la conexión entre $K$ -y la reciprocidad cuadrática:
Teorema 11.6 (Tate) El grupo $K_2\mathbb Q$ es canónicamente isomorfo a la suma directa $$ A_2\oplus A_3\oplus A_5\oplus\ldots $$ donde $A_2=\{\pm1\}$ y para $p$ impar, $A_p=(\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times$ .
Milnor lo explica:
De hecho el isomorfismo estará dado por la correspondencia $$ > \{x,y\}\to(x,y)_2\oplus(x,y)_3\oplus(x,y)_5\oplus\ldots > $$ Tate comenta que su prueba de la teorema está sacada directamente del argumento utilizado por Gauss en su primera demostración de la recíproca cuadrática cuadrática.
(Toda la sección que comienza en la página 99 se titula Gauss y la reciprocidad cuadrática)
Perdone si esto ya le resulta familiar.
Usuario no registrado
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No estoy seguro de que este sea el tipo de respuesta que busca, pero tal vez lo sea, así que:
En la página de la wikipedia enlazada en la pregunta se explica que la ley de Weil puede replantearse como el hecho de que el producto sobre los símbolos locales $(f,g)_p$ (véase la misma página para una definición) es $1$ .
La ley de reciprocidad de Hilbert (desplácese hacia abajo hasta la sección correspondiente) para un campo numérico algebraico puede enunciarse como $\prod_v (a,b)_v = 1$ donde el producto es sobre todos los lugares (finitos e infinitos) y $(a,b)_v$ es el símbolo de Hilbert (para la terminación respectiva).
El Símbolo de Hilbert $(a,b)$ para un campo local $K$ se define como $1$ si $z^2 = a x^2 + by^2$ tiene una solución en $K$ y $-1$ si no.
Ahora bien, para los racionales la ley de reciprocidad de Hilbert da la reciprocidad cuadrática (ver las dos páginas que he enlazado para algunos detalles).
