Demostrar que $\Bbb Z\Big(\frac{1+\sqrt{d}}{2}\Big)$ es cerrado bajo la multiplicación.

Question

Aquí, tenemos que $d\equiv 1\bmod4$ y $$\Bbb Z\Big(\frac{1+\sqrt{d}}{2}\Big):=\Big\{u+v\Big(\frac{1+\sqrt{d}}{2}\Big): u,v\in\Bbb Z\Big\}.$$

Aquí está mi intento hasta ahora:

Supongamos que $A:=u+v\Big(\frac{1+\sqrt{d}}{2}\Big)$ y $B:=w+x\Big(\frac{1+\sqrt{d}} {2}\Big)$ . Ahora, consideramos el producto $$\Big(u+v\Big(\frac{1+\sqrt{d}}{2}\Big)\Big)\cdot \Big(w+x\Big(\frac{1+\sqrt{d}} {2}\Big)\Big)=uw+ux\Big(\frac{1+\sqrt{d}} {2}\Big)+\frac{vx}{4}+\frac{vxd}{4}+\frac{vx\sqrt{d}}{4}.$$

Ahora, escribe $d=4k+1$ para algunos $k\in\Bbb Z$ entonces

$$AB=uw+ux\Big(\frac{1+\sqrt{d}} {2}\Big)+\frac{vx}{4}+\frac{vx(4k+1)}{4}+\frac{vx\sqrt{d}}{4}\\ =uw+ux\Big(\frac{1+\sqrt{d}} {2}\Big)+\frac{vx}{4}+\frac{4vxk+vx}{4}+\frac{vx\sqrt{d}}{4}\\ =uw+ux\Big(\frac{1+\sqrt{d}} {2}\Big)+\frac{vx}{2}+vxk+\frac{vx\sqrt{d}}{4}.$$

Pero aquí es donde estoy atascado. ¿Me puede indicar dónde continuar, por favor?

Answer 1

Dejemos que $\omega = {1+\sqrt{d}\over 2}$ y $d=4k+1$ . Entonces

$$\omega ^2 = {1+2\sqrt{d}+d\over 4} = {2\sqrt{d}+4k+2\over 4}={1+\sqrt{d}\over 2}+k=\omega +k$$

Así que $$ (a+b\omega)(c+d\omega) = ac+(bc+ad)\omega +bd\omega ^2 = (ac+bdk)+(bc+ad+bd)\omega$$

y hemos terminado.

Answer 2

\begin{eqnarray*} \left(u+v \left( \frac{1+ \sqrt{d}}{2} \right) \right) \left(w+x \left( \frac{1+ \sqrt{d}}{2} \right) \right) = uw+(ux+vw) \left(\frac{1+ \sqrt{d}}{2}\right)+ vx \left(\frac{1+d +2\sqrt{d}}{4}\right) \end{eqnarray*} ahora usa $d=4k+1$ \begin{eqnarray*} \left(u+v \left( \frac{1+ \sqrt{d}}{2} \right) \right) \left(w+x \left( \frac{1+ \sqrt{d}}{2} \right) \right) = uw+kvx +(ux+vw+vx) \left(\frac{1+ \sqrt{d}}{2}\right). \end{eqnarray*}

Answer 3

Una pista: Dejemos que $\theta = \frac{1+\sqrt{d}}{2}$ . Basta con demostrar que $\theta^2 = u + v \theta$ para algunos $u,v\in\mathbb Z$ .

Solución:

Escriba $d=4t+1$ . Entonces $\theta^2 = t + \theta$ .

Answer 4

El error aquí:

Debe ser $$\frac{vx(1+\sqrt{d})^2}{4}=\frac{vx(1+d+2\sqrt{d})}{4}=\frac{vx(1+\sqrt{d})}{2}+\frac{vx(d-1)}{4},$$ lo que pone fin a la prueba.