encontrar una base para el núcleo y la imagen cuando se trata de un espacio vectorial matricial

Question

He calculado la dimensión de $M_2(\mathbb{F})$ comme $4$ y calculado $T(X) = \begin{pmatrix} -(x_2+x_3) & x_1 - x_4 \\ x_1 - x_4 & x_3 + x_2 \end{pmatrix}$ y señaló que $T(X) = 0$ si $x_2 = -x_3$ y $x_1 = x_4$ pero no estoy seguro de cómo puedo encontrar una base para ello, o para la imagen - cualquier ayuda por favor.

Answer 1

En primer lugar, observe que, al establecer

$J = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \tag{1}$

tenemos

$A = I + J \tag{2}$

lo que simplifica un poco las cosas ya que ahora podemos escribir

$T(X) = AX - XA = (I + J)X - X(I + J)$ $= X + JX - X - XJ = JX - XJ; \tag{3}$

tomando

$X = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix} \tag{4}$

es fácil ver que

$JX = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x_3 & -x_4 \\ x_1 & x_2 \end{bmatrix} \tag{5}$

y

$XJ = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 & -x_1 \\ x_4 & -x_3 \end{bmatrix}, \tag{6}$

de donde

$T(X) = JX - XJ = \begin{bmatrix} -(x_2 + x_3) & x_1 - x_4 \\ x_1 - x_4 & x_2 + x_3 \end{bmatrix}, \tag{7}$

por lo que vemos que $T(X) = 0$ si y sólo si

$x_4 = x_1; \; x_3 = -x_2 \tag{8}$

demostrando que $X$ tiene la forma

$X =\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ -x_2 & x_1 \end{bmatrix} = x_1 I - x_2 J; \tag{9}$

Además, cualquier $X$ como en (9) se ve fácilmente que satisface $T(X) = JX - XJ = 0$ por lo que las matrices $I$ y $J$ span $\ker T$ y se ve fácilmente que son linealmente independientes, por lo que $\dim(\ker T) = 2$ . La inspección de (7) muestra que cada $T(X)$ puede escribirse

$T(X) = \begin{bmatrix} -z & y \\ y & z \end{bmatrix} = zD + yP, \tag{10}$

donde

$D = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{11}$

y

$P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}; \tag{12}$

$P$ y $D$ son manifiestamente independientes linealmente sobre $\mathbf F$ , demostrando que $\dim \text{Im}T = 2$ también. De hecho, si $\text{char}(\mathbf F) \ne 2$ las matrices $I$ , $J$ , $P$ , $D$ span $M_2(\mathbf F)$ como se puede ver en

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} =\dfrac{1}{2}(a(I - D) + b(P - J) + c(P + J) + d(I + D)); \tag{13}$

cuando $\text{char}(\mathbf F) = 2$ Una base para $M_n(\mathbf F)$ se compone de las cuatro matrices

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \tag{14}$

Cuando $\text{char}(\mathbf F) \ne 2$ vemos que las matrices $I$ , $J$ , $P$ , $D$ son linealmente independientes; si

$aI + bJ + cD + dP = 0, \tag{15}$

entonces tenemos

$a - c = a + c = 0; \; b - d = b + d = 0, \tag{16}$

que obliga a $a = b = c = d = 0$ en este caso. Las matrices (14) son linealmente independientes si $\text{char}(\mathbf F) = 2$ o no.

Hemos visto en lo anterior que $\dim(\ker(T)) = \dim(\text{Im}(T)) = 2$ y por qué, que deduzco es lo que necesitaba nuestro usuario OP144464. Mi trabajo nocturno me llama, así que no puedo decir más en este momento; pero lo de siempre,

Espero que esto ayude. Adiós,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!

Answer 2

Considere un elemento arbitrario $$ X =\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}\in \ker T $$ Como has calculado, $x_2 = -x_3$ , $x_1=x_4$ Por lo tanto $$ X =\begin{pmatrix} x_1 & -x_3 \\ x_3 & x_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1 & 0 \\ 0 & x_1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & -x_3 \\ x_3 & 0 \end{pmatrix}= $$ $$ =x_1\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+ x_3\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ por lo que $\ker T$ está comprendida por estas dos matrices. Son linealmente independientes, por lo que forman la base de $\ker T$ .

En cuanto a la imagen, se procede de manera similar. $$ T(X)=\begin{pmatrix} -x_2-x_3 & x_1 - x_4 \\ x_1 - x_4 & x_3 + x_2 \end{pmatrix}= $$ $$ =x_1\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+ x_2\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+ x_3\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+ x_4\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Ahora, por definición $\mathrm{Im} T$ está comprendida por estas 4 matrices, pero no son linealmente independientes. Encuentra el máximo subconjunto linealmente independiente y esta será nuestra base.