Utilizando las leyes generales, demuestre que $\lnot(P\leftrightarrow Q)=P\leftrightarrow \lnot Q$

Question

Demostrar que $\lnot(P\leftrightarrow Q)=P\leftrightarrow \lnot Q$ , utilizando las leyes generales

Sé que se puede hacer mediante tablas de verdad, pero aquí se pide que se responda a la pregunta con leyes generales como (De Morgan, absorción, negación, doble negación, leyes distributivas). ¿Lo entiendes?

Answer 1

Por definición $P \rightarrow Q = (\lnot P \lor Q)$ y $P \leftrightarrow Q = (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow P)$ . Por lo tanto, \begin{align} \lnot(P \leftrightarrow Q) &= \lnot ((\lnot P \lor Q) \land (\lnot Q \lor P))\\ &= \lnot ( (\lnot P \land \lnot Q) \lor (P \land Q))\\ &= (P \lor Q) \land (\lnot P \lor \lnot Q) \qquad \mbox{de Morgan}\\ &= (\lnot P \lor \lnot Q) \land (Q \lor P) \qquad \mbox{Commutativity}\\ &= P \leftrightarrow \lnot Q \end{align}

Editar
Para el paso entre la primera y la segunda línea. Por la distributividad \begin{align} (\lnot P \lor Q) \land (\lnot Q \lor P) &= (\lnot P \land \lnot Q) \lor (\lnot P \land P) \lor (Q \land \lnot Q) \lor (Q \land P) \end{align}

pero $\lnot P \land P = 0, \lnot Q \land Q = 0$ . De ahí la segunda línea.

Answer 2

Para variar, voy a proponer un enfoque diferente: Si asumimos: $$\lnot(P\iff Q)\equiv P\iff \lnot Q$$ $$\implies\lnot(\lnot(P\iff Q))\equiv\lnot (P\iff \lnot Q)$$ $$\implies P\iff Q\equiv \lnot((P\implies \lnot Q)\land(\lnot Q\implies P))$$ $$\implies P\iff Q\equiv ((P\land Q)\lor(\lnot Q\land\lnot P))\equiv (P\land Q)\lor\lnot(P\lor Q)$$ Pero en detalle si quieres entretenerte experimentando (que es una buena manera de concluir por adelantado porque tu cerebro acumulará más y más rápido): $$(P\land Q)\lor(\lnot P\land\lnot Q)\equiv((P\land Q)\lor\lnot P)\land((P\land Q)\lor \lnot Q))$$ $$\equiv\underbrace{(P\lor \lnot P)}_{1}\land(\lnot P\lor Q)\land(P\lor \lnot Q)\land\underbrace{(Q\lor \lnot Q)}_{1}$$ $$\equiv(P\lor \lnot Q)\land(Q\lor\lnot P)\equiv\neg((\lnot P\land Q)\lor(\lnot Q\land P))\equiv\neg((P\land \lnot Q)\lor(Q\land\lnot P))\equiv\lnot(\lnot(P\iff Q))\equiv \underbrace{P\iff Q}_{again}$$ Espero que sea divertido.