Problema de comprensión de las propiedades básicas de las variedades algebraicas afines.

Question

Yo, empezando a estudiar geometría algebraica básica por mi cuenta, y todos los libros o apuntes que he ido leyendo empezaron a demostrar lo siguiente:

Para un campo algebraico cerrado $K$ ;

1.- $\emptyset$ y todo el espacio afín, $\mathbb{A}_{K}^{n}$ son variedades algebraicas afines.

2.- Si $V(I)$ y $V(J)$ son variantes algebraicas afines entonces $V(I) \cup V(J)$ es una variedad algebraica afín.

3.- Si $\lbrace V(I_{i})\rbrace_{i \in I}$ es una familia de variedades algebraicas afines, entonces $\bigcap_{i \in I} V(I_{i})$ es una variedad algebraica afín.

Para $1$ Las fuentes que he leído demuestran la afirmación al mencionar que $\emptyset=V(1)$ y $\mathbb{A}_{K}^{n}=V(0)$ pero no entiendo qué $V(1)$ o $V(0)$ ¿Significa?

Para $2$ demuestran que $V(I) \cup V(J)=V(I \cap J)$ y entiendo cómo probaron esta doble contención. Pero no entiendo por qué esto demuestra $V(I) \cup V(J)$ es una variedad algebraica.

Para $3$ demuestran que $\bigcap_{i \in I} V(I_{i})= V(\sum_{i \in }I_{i})$ pero como dos lo que no entiendo es por qué esto demuestra que la intersección arbitraria de variedades algebraicas afines es efectivamente una variedad algebraica.

¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

1) Aquí, el autor quiere decir $V((1))$ y $V((0))$ , respectivamente, donde $(0), (1)$ son ideales.

2) y 3) Recuerda la definición de variedad algebraica. Para 2) demuestra que $V(I) \cup V(J)$ es de la forma $V(\cdot)$ , a saber $V(I \cap J)$ . Las variedades se definen como conjuntos de la forma $V(\cdot)$ . Lo mismo ocurre en la 3).