Si entiendo lo que quiere decir es que también $\psi$ y $e^{i \alpha} \psi$ son configuraciones físicamente equivalentes, por lo que también deben contarse una vez en la integral de la trayectoria. De acuerdo, pero una vez que fijamos el calibre también nos encargamos de esta ambigüedad de forma gratuita junto con la bien conocida $A_\mu \to A_\mu +\partial_\mu \alpha$ .
Cuando dice que la fijación del calibre tiene que ver con la invertibilidad del operador $k^\mu k^\nu - k^2 \eta^{\mu\nu}$ se refiere al término cinético del fotón. En efecto, si se realiza la transformación de Fourier $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ donde $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ se encuentra (después de integrar por partes) $$ S_{\mathrm{kin}} = \int d^4 k \,A_\mu(k^\mu k^\nu - k^2 \eta^{\mu\nu})A_\nu\,. $$ Así que ese es el operador que hay que invertir para encontrar el propagador. Es lo mismo que $\varphi (k^2 + m^2) \varphi$ que lleva al propagador $1/(k^2+m^2)$ . Dado que este operador tiene un vector propio nulo, a saber $k_\mu$ No podemos invertirlo.
Pero, ¿qué significa esta singularidad? Sabemos que el fotón tiene $2$ grados de libertad (las dos polarizaciones transversales $\vec{E}$ y $\vec{B}$ ). Sin embargo, cuando lo describimos como un vector de Lorentz, implícitamente permitimos también una polarización longitudinal ( $A_\mu \sim k_\mu \alpha$ ). Se puede ver inmediatamente que este modo no tiene un término cinético porque $k_\mu$ mata la matriz, en consecuencia, su propagador no está definido.
Así que esta singularidad sólo te dice que hay algunos modos sin término cinético, por lo que no son dinámicos. ¡Lo que significa precisamente que no debes sumar sobre ellos en la integral de trayectoria!
Permítanme intentar ser aún más preciso (o quizá más confuso). Cada campo tiene un cierto número de polarizaciones, por lo que esquemáticamente se puede representar como sigue: $$ \Phi_A(x) = \sum_i^s\epsilon_A^{(i)} \,f_i(x)\,. $$ el $f_i(x)$ son los modos y cada una de ellas satisface una ecuación de Klein-Gordon $(\square +m^2) \,f_i(x) = 0$ . El $\epsilon_A^{(i)}$ son algunas polarizaciones fijadas por simetría. Cuando integro la trayectoria sobre $\Phi_A$ En realidad, la ruta de acceso se integra sobre el $f_i$ y cada una de ellas tendrá una fuente asociada. Su término cinético debe tener la forma $$ S_{\mathrm{kin}} = \int dx\,\sum_i c_i \,f_i (\square + m^2)\,f_i\,. $$ donde el $c_i$ son constantes. Los modos redundantes no tienen término cinético y, por tanto, su $c_i$ es cero. Llama a $j_i$ la fuente de $f_i$ . Entonces cada integral de trayectoria da $$ \int [d f_i]\,e^{- c_i \,f_i(\square + m^2)\,f_i + \int dx\,f_i\, j_i} = \exp\left(\frac 12 \int dx\, \frac{1}{c_i}j_i(x) (\square + m^2)^{-1} j_i(x)\right)\,. $$ Y el resultado final es el producto de todo ello. Se ve que integrando sobre las configuraciones redundantes se obtiene precisamente la singularidad que encontramos invirtiendo su término cinético.
En el ejemplo del fotón tendríamos tres polarizaciones, $f_{1,2}$ siendo los transversales y $f_3$ siendo la longitudinal, para lo cual $c_3 = 0$ .
