Bousfield's distributive lattice DL and non-ring spectra

Question

En su artículo "The Boolean algebra of spectra" (Comm Math Helv 54, 368–377 (1979), https://doi.org/10.1007/BF02566281), Bousfield define $\mathbf{DL}$, un subconjunto del retículo de Bousfield, como todas las clases de Bousfield $\langle X \rangle$ tal que $\langle X \rangle \wedge \langle X \rangle = \langle X \rangle$. Señaló que si $X$ es un wedge de espectros de anillo, entonces $\langle X \rangle \in \mathbf{DL}$. ¿Hay clases en $\mathbf{DL}$ que se sepa que no son equivalentes de Bousfield a un wedge de espectros de anillo? Si la conjetura del telescopio falla, eso daría ejemplos. ¿Hay otros?

Answer 1

Mi artículo Un modelo combinatorio para las clases de Bousfield conocidas define un semianillo ordenado completo $\mathcal{A}$ y un homomorfismo de $\mathcal{A}$ al enrejado de Bousfield módulo la conjetura del telescopio, cuya imagen contiene la mayoría de las clases de Bousfield que han sido nombradas y estudiadas. En $\mathcal{A}$, todos los elementos que satisfacen $x\wedge x=x$ corresponden a cuñas de espectros anulares unitarios. (De hecho, todos corresponden a espectros anulares unitarios, excepto en el caso de $\bigvee_{i\in U}K(i)$, que no es evidentemente un anular unitario si $U$ es infinito.) Aunque los resultados principales se enuncian en un cociente del enrejado de Bousfield donde se obliga a que la conjetura del telescopio sea verdadera, muchos resultados intermedios se enuncian en el enrejado de Bousfield en sí. Por lo tanto, estoy bastante seguro de que la literatura no contiene contraejemplos incondicionales para tu pregunta.