Definición de la acción de grupo

Question

La Wikipedia para la acción de grupo y varios mensajes aquí tienen lo que me parece ser dos definiciones ligeramente diferentes para una acción de grupo. $\ $ Sea G un grupo que actúa sobre el espacio X. $\ $ Estas dos definiciones son:

1. Un homomorfismo de grupo $\varphi$ del grupo al grupo de automorfismo del espacio. $$\varphi : G\ \longrightarrow \text{Aut}(X)$$

2. Un mapa que toma un elemento del grupo y un elemento del espacio, y devuelve un elemento del espacio. $$\alpha : G\, \times X\ \longrightarrow X$$

¿Cuál es la acción del grupo? $\ $ ¿Está en función de un argumento o de dos? $\ $ ¿Cuál es el tipo de retorno? ¿Devuelve una función (automorfismo) o un elemento del espacio? $\ $ La primera definición se ajusta a lo que yo considero una representación, por ejemplo, de un grupo de simetría C $_\text{2v} \longrightarrow $ GL(V) que devuelve una matriz, en lugar de un vector.

Creo que entiendo la idea básica de lo que ocurre, pero me gustaría saber cuál es la definición matemática real.

Gracias de antemano.

Answer 1

Las definiciones acaban siendo más o menos las mismas en el sentido de que si tienes un mapa $f: G \times X \to X$ que satisface la segunda definición, existe un homomorfismo de grupo (inducido por $f$ ) que satisface la primera definición (y viceversa).

Para mostrarle cómo podría funcionar, suponga que tiene $f: G \times X \to X$ . Para cada $g \in G$ puede definir un mapa $\phi_g: X \to X$ dejando $\phi_g(x) = f(g,x)$ . Esto será una biyección ya que $\phi_g^{-1}$ es precisamente $\phi_{g^{-1}}$ . Entonces, el homomorfismo $G \to \text{Aut}(X)$ es el que envía $g \mapsto \phi_g$ . Si en lugar de ello se parte de un homomorfismo $f: G \to \text{Aut}(X)$ y que $f_g := f(g)$ podemos definir un mapa $\alpha: G \times X \to X$ dejando $\alpha(g,x) = f_g(x)$ . Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre los mapas $G \times X \to X$ (que satisfacen otras condiciones mencionadas en los comentarios) y los homomorfismos $G \to \text{Aut}(X)$

Aunque, según mi experiencia, la segunda definición que mencionas es un punto de partida más convencional para definir las acciones de grupo. Si buscas en muchos libros clásicos de Álgebra como el de Dummit y Foote, definirán una acción de grupo como un mapa $G \times X \to X$ satisfaciendo varias condiciones. Sin embargo, a medida que se aprende más sobre el Álgebra Abstracta, la diferencia entre estas dos nociones se vuelve minúscula, y se empezarán a utilizar ambas nociones de una acción de grupo indistintamente.

Answer 2

Hay un escenario más general para esta equivalencia. Sea $G$ sea un grupo y $X$ un conjunto; considera:

D1) Hay un mapa: $\cdot:G\times X\to X$ , $(g,x)\mapsto g\cdot x$ tal que..:

• $e\cdot x=x$ para cada $x\in X$ ;
• $g\cdot(h\cdot x)=(gh)\cdot x$ para cada $g,h\in G, x\in X$ .

D2) Existe un homomorfismo de grupo $\varphi\colon G\to\operatorname{Sym}(X)$ .

Reclamación . D1) $\iff$ D2).

Prueba .

• D1) $\Longrightarrow$ D2) . Definamos $\varphi(g)(x):=g\cdot x$ entonces (inyectabilidad):

$$\varphi(g)(x)=\varphi(g)(y)\Rightarrow g\cdot x=g\cdot y\Rightarrow g^{-1}\cdot(g\cdot x)=g^{-1}(g\cdot y)\stackrel{\text{(D1)}}{\Longrightarrow}x=y$$

y (subjetividad), para cada $y\in X$ , $y\stackrel{\text{(D1)}}{=}\varphi(g)(g^{-1}\cdot y)$ . Por lo tanto, efectivamente $\varphi(g)\in\operatorname{Sym}(X)$ por cada $g\in G$ . Ahora, por cada $g,h\in G,x\in X$ :

\begin{alignat}{1} \varphi(gh)(x) &= (gh)\cdot x \\ &\stackrel{\text{(D1)}}{=} g\cdot(h\cdot x) \\ &= \varphi(g)(\varphi(h)(x)) \\ &= (\varphi(g)\varphi(h))(x) \\ \end{alignat}

de donde $\varphi(gh)=\varphi(g)\varphi(h)$ .

• D2) $\Longrightarrow$ D1) . Definamos $g\cdot x:=\varphi(g)(x)$ entonces, para cada $x\in X$ :

$$e\cdot x=\varphi(e)(x)\stackrel{\text{(D2)}}{=}Id_X(x)=x$$

Además, para cada $g,h\in G,x\in X$ :

$$(gh)\cdot x =\varphi(gh)(x)\stackrel{\text{(D2)}}{=}(\varphi(g)\varphi(h))(x)=\varphi(g)(\varphi(h)(x))=g\cdot(h\cdot x)$$

$\Box$

Por lo tanto, siéntase libre de elegir cualquiera entre D1 y D2 como definición de acción de grupo.

Answer 3

Lo que está viendo aquí es un caso especial del concepto muy general de currying : Para tres juegos $A, B, C$ existe una biyección natural entre los mapas $A\times B\to C$ y mapas $A\to \operatorname{Maps}(B,C)$ , donde $\operatorname{Maps}(B,C)$ denota el conjunto de mapas $B\to C$ .

La biyección es bastante trivial y funciona como sigue: Dado un mapa $f\colon A\times B\to C$ podemos definir para cada $a\in A$ el mapa $f_a\colon B\to C$ dado por $f_a(b)=f(a,b)$ . Esto define un mapa $A\to\operatorname{Maps}(B,C)$ por $a\mapsto f_a$ . A la inversa, desde un mapa $g\colon A\to\operatorname{Maps}(B,C)$ siempre se puede definir un mapa $A\times B\to C$ por $(a,b)\mapsto \big(g(a)\big)(b)$ .

Estas dos construcciones son inversas entre sí y, por tanto, establecen una biyección entre los mapas $A\times B\to C$ y mapas $A\to\operatorname{Maps}(B,C)$ .

En su caso $A=G$ y $B=C=X$ para que los mapas $G\times X\to X$ corresponden a los mapas $G\to\operatorname{Maps}(X,X)$ . Sin embargo, a usted sólo le interesa el subconjunto de esos mapas que realmente se mapean en $\operatorname{Sym}(X)$ (que es el subconjunto de $\operatorname{Maps}(X,X)$ que consiste en sólo las biyecciones) y tienen la propiedad de ser un homomorfismo de grupo. En el entorno de los mapas $G\times X\to X, (g,x)\mapsto g\cdot x$ estos criterios se traducen en los axiomas de acción de grupo $1\cdot x=x$ y $(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$ para todos $g,h\in G$ y $x\in X$ .