La homología relativa es la homología reducida del cociente

Question

Leí en la página 124 de Hatcher que

la homología relativa puede expresarse como una reducción absoluta en el caso de los pares buenos $(X,A)$ pero, de hecho, hay una manera de hacer esto para pares arbitrarios.

Su argumento es el siguiente: $\displaystyle \tilde{H_n}(X/A)= \tilde{H_n}(X CA) = H_n(X CA,CA) = H_n(X CA \{p\},CA \{p\}) = H_n(X,A)$

Donde $p$ es el vértice de $CA$ el cono en $A$ .

Así que entiendo que la relación $\tilde{H_n}(X/A)=H_n(X,A)$ se mantiene sin ninguna condición en el par $(X,A)$ donde $X$ es un espacio topológico y $A$ es cualquier subconjunto no vacío de $X$ . ¿Es correcto mi entendimiento? ¡Gracias por su ayuda!

Answer 1

No, esto es un malentendido.

Hatcher dice que se puede identificar el grupo de homología relativa $H_n(X,A)$ de un buen par $(X,A)$ con la homología reducida grupo $\tilde{H}_n(X/A)$ de la espacio $X/A$ . Los pares buenos se definen como aquellos que satisfacen la hipótesis del teorema 2.13. Por ejemplo, los pares CW son buenos.

Esto significa que los grupos de homología de los pares buenos pueden expresarse como los grupos de homología (reducidos) de los pares adecuados espacios individuales . Esto es posible para pares arbitrarios, aunque en general no en la forma $\tilde{H}_n(X/A)$ pero en la forma $\tilde{H}_n(X \cup CA)$ con el espacio único $X \cup CA$ . Existe un mapa cociente obvio $X \cup CA \to X/A$ que es una equivalencia homotópica para los pares buenos (pero no para los pares generales).