Complementos algebraicos y topológicos en un espacio de Hilbert

Question

Todo subespacio cerrado de un espacio de Hilbert tiene un complemento topológico, concretamente su complemento ortogonal. Me pregunto si todo complemento algebraico de un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert es automáticamente un complemento topológico.

En otras palabras, si $C$ está cerrado, $V$ y $C$ tienen una intersección trivial, y $V+C$ es todo el espacio, entonces es $V$ ¿se cierra automáticamente?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

No en dimensión infinita. Sí, por supuesto, en dimensión finita ya que todo subespacio es cerrado.

Tomemos un funcional lineal no nulo y no acotado $\phi$ en su espacio de Hilbert de dimensión infinita $H$ . Tome $x_0\in H$ tal que $\phi(x_0)=1$ . Entonces $$ H=\ker \phi \oplus \mathbb{C}x_0\qquad x=(x-\phi(x)x_0)+\phi(x)x_0. $$ Desde $\mathbb{C}x_0$ es de dimensión finita, es cerrado. Y como $\phi$ no tiene límites, $\ker \phi$ no está cerrado.

Notas:

• Para "construir" tal $\phi$ , toma $\{e_n\}$ un conjunto ortonormal infinito en $H$ y establecer $\phi(e_n):=n$ . Extender por linealidad a $\mbox{span}\{e_n\}$ . Luego se extiende a cualquier complemento algebraico de $\mbox{span}\{e_n\}$ por $0$ .

• Si $H=F\oplus G$ es una suma directa ortogonal de dos subespacios cualesquiera de $H$ Sin embargo, entonces ambos $F$ y $G$ debe estar cerrado y tenemos $F=G^\perp$ y $G=F^\perp$ .