¿Son las inmersiones de variedades diferenciables morfismos planos?

Question

Sea $\pi \colon M\to N$ una aplicación suave entre variedades suaves reales. Entonces $C^\infty(M)$ forma un módulo sobre $C^\infty(N)$ (a través del pullback). ¿Es este módulo plano cuando $\pi$ es una sumersión?

Recuerda que la definición usual de planitud es equivalente a la siguiente condición ecuacional: cuando $h_1 \ldots h_k\in C^\infty(N) $ y $g_1 \ldots g_k\in C^\infty(M)$ son tales que: $$h_1 g_1 + \ldots + h_k g_k = 0$$ (como funciones en $M$) entonces existen funciones $G_1 \ldots G_r\in C^\infty(M)$ y $a_{i,j}\in C^\infty(N)$ tales que: $$g_i= \sum_j a_{i,j}G_j \; \forall i $$ y $$\sum_i h_i a_{i,j}= 0 \; \forall j$$

Algunas observaciones:

• Es sabido que la inclusión de un subconjunto abierto $U\subset N$ es un morfismo plano ya que las funciones suaves en $U$ se obtienen a partir de las funciones suaves en $N$ mediante localización con respecto a funciones que no se anulan en ningún lugar en $U$.

• También es sabido que las aplicaciones suaves planas tienen que ser abiertas. Las pruebas de estos hechos se pueden encontrar, por ejemplo, en el libro: Gonzales, Salas, $C^\infty$-diferenciable espacios, Notas de clases en Matemáticas, Springer 2000.

• He preguntado a algunos expertos, incluyendo a Malgrange y a los autores mencionados anteriormente, y parece que la respuesta no se conoce.

• He dado la condición ecuacional de planitud ya que parece ser la más razonable de usar aquí. Pero considerando ya la situación más simple aquí es donde me atasco: supongamos que quieres verificar la planitud de la proyección estándar $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x,y)\mapsto x$, y tomemos el caso de solo un $h\in C^\infty(\mathbb{R})$ y un $g\in C^\infty(\mathbb{R}^2)$ con $hg=0$. Si eliges $h(x)$ estrictamente positivo para $x<0$ y $0$ para $x\geq 0$, entonces la condición de planitud se traduce en:

Cualquier función suave $g(x,y) \in C^\infty (\mathbb{R}^2)$ que se anule en el semiplano $x\leq 0 $ admite una "factorización": $$g(x,y)= \sum_j a_j (x)G_j (x,y)$$ donde los $a_j\in C^\infty(\mathbb{R})$ todos se anulan en $x\leq 0$ y los $G_j\in C^\infty(\mathbb{R}^2)$ son arbitrarios.

¿Alguien tiene una idea de cómo demostrar este caso "simple", o ve un contraejemplo?

(Edición: George Lowther demuestra de manera excelente este caso "simple", y también se acerca más al resultado completo en su segunda respuesta. Si también crees que merece crédito, considera votar positivamente su segunda respuesta ya que la primera se convirtió en wiki comunitario.)

Motivación

Mi interés personal es que una respuesta positiva me permitiría terminar una cierta demostración, la cual intentar explicar aquí llevaría muy lejos. Pero puedo intentar poner la pregunta en contexto de la siguiente manera: la noción de morfismo plano juega un papel importante en geometría algebraica donde es básicamente la forma correcta de formalizar la noción de familias parametrizadas de variedades (los fibrados de dicho morfismo siendo estas familias). También se puede decir que es la noción "técnica" correcta que permite hacer todas las cosas que se esperan hacer con tales familias parametrizadas (corrígeme si me equivoco).

Ahora me han enseñado que la topología diferencial también se puede ver como parte del álgebra conmutativa (y que tomar ese punto de vista incluso podría ser útil en ocasiones). Por ejemplo: una variedad se puede recuperar por completo a partir del álgebra de funciones suaves en ella, y cualquier mapa suave entre variedades está completamente codificado por el morfismo de álgebras correspondiente. Otros ejemplos: los campos vectoriales son solo derivadas del álgebra, las fibraciones vectoriales son solo módulos proyectivos finitamente generados sobre el álgebra, etc. Buenos lugares para aprender este punto de vista son: Jet Nestruev, Variedades suaves y observables, así como el libro mencionado anteriormente.

Ahora, en la topología diferencial existe una noción bien conocida de familias parametrizadas suaves de variedades, es decir, los fibrados suaves. Por lo tanto, desde este punto de vista algebraico, sería natural esperar que los fibrados sean morfismos planos.

Answer 1

Puedo estar bastante cerca de probar esto. Eso no significa que el resultado sea verdadero, pero al menos parece ser muy cercano a la verdad. También podemos ver cómo deben verse los contraejemplos si falla. Básicamente, si los detalles de mi argumento a continuación se desarrollan como se espera, el único problema puede ocurrir en puntos donde h=(h₁,h₂,...) se anula junto con todas sus derivadas, pero donde las derivadas (hasta cierto orden) de h/|h| explotan.

Espero que este resultado sea cierto, ya que es un enunciado algebraico simple que codificaría algunas propiedades bastante profundas de las funciones suaves. Sin embargo, aún no estoy convencido de que este sea el caso.

Permítame restringirme al caso simple donde $p\colon M\to N$ es la proyección de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$, p(x,y)=x. Reorganizando ligeramente su definición de planitud, sea n un entero positivo. Sean $g\colon M\to\mathbb{R}^n,\ g=(g_1,\ldots,g_n)$ y $h\colon N\to\mathbb{R}^n,\ h=(h_1,\ldots,h_n)$ aplicaciones suaves tales que su producto interno es cero, $\langle h,g\rangle=\sum_k h_k g_k=0$. Entonces, la planitud de la proyección p dice que hay un conjunto finito de funciones suaves $a_k\colon N\to\mathbb{R}^n,\ a_k=(a_{k1},\ldots,a_{kn})$ y $G_k\in C^\infty(M)$ que satisfacen $\langle h,a_k\rangle=0$ y $g=\sum_k a_kG_k$. Es decir, g está generado por a_k como un módulo sobre $C^\infty(M)$.

El subconjunto de N donde h es distinto de cero es fácil de tratar, simplemente proyectando de forma ortogonal a h. Si $e_i\colon N\to\mathbb{R}^n,\ e_{ij}\equiv\delta_{ij}$ entonces $g=\sum_ig_ie_i$ y la proyección ortogonal da $$g=g-|h|^{-2}\langle h,g\rangle h=\sum_i(e_i-|h|^{-2}h_ih)g_i$$ así que podemos tomar $a_k=e_k-|h|^{-2}h_kh$ y $G_k=g_k$. Por otro lado, si h se anula en un conjunto abierto entonces no pone ninguna restricción ni en g ni en a_k y el problema es sencillo. Los únicos problemas ocurren en vecindades del borde del conjunto $\lbrace h=0\rbrace\subset N$.

Voy a denotar el espacio de funciones suaves $a\colon N\to\mathbb{R}^n$ tales que $\langle h,a\rangle=0$ por $V$, que debe considerarse como un módulo de $C^\infty(N)$. Además, al restringirme a $M=\mathbb{R}^2$, entonces $g_y\equiv g(\cdot,y)\in V$ puede considerarse como una familia parametrizada suavemente en V. Si la propiedad de planitud es verdadera, entonces dice que $g_y$ está contenido en un submódulo finitamente generado de V, generado por los a_k. De manera conversa, si V es finitamente generado, entonces una versión modificada de la prueba estándar de planitud para variedades algebraicas también debería funcionar aquí (para variedades, la propiedad de Noetherian garantiza que V es finitamente generado). Más generalmente, es necesario demostrar que la familia $g_y\in V$ está contenida en un submódulo finitamente generado de V, entonces la planitud debería seguir.

Intentemos mostrar que V es finitamente generado en alguna vecindad de un punto $P\in N$. Supongamos que existe un $a\in V$ que satisface $a(P)\not=0$. Entonces, en el conjunto $\lbrace a\not=0 \rbrace$, cualquier $b\in V$ se puede descomponer de forma única en un múltiplo de a y su componente ortogonal a a. Al proyectar sobre el subespacio de $\mathbb{R}^n$ ortogonal a a en cada punto, esto nos permite reducir el problema a $\mathbb{R}^{n-1}$. Continuando de esta manera, por inducción, podemos reducir al caso donde cada $a\in V$ tiene $a(P)=0$ (en cuyo punto, h(P) también debe ser cero).

Así que, ahora consideremos el caso de un punto $P\in N$ en el que todas las $a\in V$ se anulan. Sea r el entero positivo más pequeño en el que las derivadas de orden r de algún $a\in V$ no son cero (si existe). Entonces, recordando que solo estoy considerando el caso de $N=\mathbb{R}$, podemos definir $b(x)= a(x)/(x-P)^r\in V$ que satisface $b(P)=a^{(r)}(P)/r!\not=0$. Esto es una contradicción.

Entonces, esto reduce el problema a los puntos $P\in N$ en el borde del conjunto $\lbrace h=0\rbrace$ en los que tanto h como cada $a\in V$ junto con todas sus derivadas se anulan. Voy a denotar este conjunto (necesariamente cerrado) por S. Necesitamos mostrar que la familia suave $g_y\in V$ está contenida en un submódulo finitamente generado de V, en alguna vecindad de S.

El caso para n=1 se puede completar, como hice en mi otra respuesta demostrando tu caso "simple". Entonces, como expliqué, existe un $G\in V$ que es estrictamente positivo fuera de {h=0} y que tiende a cero mucho más lentamente que cualquiera de los g_y en S, por lo que $g_y/G\in C^\infty(N)$ y $g_y = (g_y/G)G$ están todos en el submódulo generado uno por G.

Podemos intentar resolver el caso n>1 de manera similar. Primero, sea $a_i = e_i - |h|^{-2} h_i h$ las proyecciones de $e_{ij}=\delta_{ij}$ ortogonales a h, que está definido, acotado y suave en $\lbrace h\not= 0\rbrace$, y g_y se descompone como $g_y=\sum_k a_{k}(g_{y})_k$, como hice anteriormente. Las coordenadas $(g_y)_k\in C^{\infty}(N)$ y todas sus derivadas se anulan en S. Entonces, como en el caso n=1, habrá un función suave G que se anula en S tal que $(g_y)_k/G$ son todas suaves, y podemos descomponer $g_y=\sum_k (G a_{k})((g_y)_k/G)$. Si $G a_k$ son suaves en S entonces generan un submódulo de V que contiene a $g_y$. El problema es que, aunque G y todas sus derivadas tienden a cero más rápido que polinómicamente en la distancia d desde S, no se puede decir lo mismo de $G a_k$. Es posible que, incluso si a_k está acotado, sus derivadas pueden explotar más rápido que polinómicamente en 1/d.

Si existe algún contraejemplo para desmentir la planitud, el problema debe ocurrir en un punto P en la variedad donde h y todas sus derivadas se anulan, pero las derivadas de $\hat h=h/|h|$ explotan más rápido que exponencialmente en el recíproco de la distancia desde S. Es decir, $\hat h=h/|h|$ se mueve de manera muy errática en P.

Answer 2

Es una consecuencia del teorema de preparación de Malgrange para funciones diferenciables que $C^{\infty}(M)$ es un módulo fielmente plano $C^{\omega}(M)$ ($C^{\omega}(M)$ es el haz de funciones analíticas en $M$). Ver Corolario 1.12, Capítulo VI de su libro Ideales de funciones diferenciables.

Por otro lado, $C^{\omega}(M)$ es un módulo plano $C^{\omega}(N)$ como lo señala el argumento de Greg Stevenson.

Creo, pero no sé cómo, que estos dos hechos pueden ser combinados para dar una respuesta positiva a la pregunta.

Answer 3

Tengo una idea para el caso de una inmersión - tal vez sea un disparate pero tal vez no.

En el caso algebraico de variedades no singulares X, Y sobre un campo algebraicamente cerrado se puede verificar la suavidad (lo que implica planitud) de un morfismo X -> Y en términos de los mapas inducidos de los espacios tangentes de Zariski en puntos cerrados siendo sobreyectivos. Así que en particular, identificando los espacios tangentes de Zariski con las fibras de los haces tangentes, la "versión algebraica de inmersión verificada en puntos cerrados" implica planitud.

Si tomamos el punto de vista de espacios diferenciables y trabajamos con la injectividad del haz cotangente tensorizado con cuerpos de residuos en lugar de la sobreyectividad del haz tangente tal vez sea posible transferir la prueba al caso que te interesa. Todo lo que realmente se necesita es traducir la afirmación de que tenemos un morfismo inyectivo en las fibras del haz cotangente en una sobre secuencias regulares en los anillos de gérmenes y luego con suerte se podría usar una versión del criterio local de planitud para concluir.

Answer 4

Puedo demostrar que esto es cierto para su "simple".

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Si g(x,y) ∈ C^∞(ℝ²) se desvanece en x ≤ 0, entonces se descompone como g(x,y) = a(x)G(x,y) donde a(x) ∈ C^∞(ℝ) se desvanece en x ≤ 0 y G(x,y) ∈ C^∞(ℝ²).

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Esto puede ser mostrado en la prueba de los enunciados a continuación. Ellos podrían posiblemente ser estándar de los resultados, pero nunca he visto antes. En primer lugar, me referiré a los siguientes conjuntos de funciones.

• Vamos la U se thet conjunto de funciones f(x) ∈ C^∞(ℝ), que desaparecen en x ≤ 0 y son positivos en x > 0.
• Vamos a V el conjunto de funciones f: ℝ⁺→ ℝ tal que x^-n f(x) → 0 cuando x → 0, para cada entero positivo n.

Las declaraciones necesito mostrar los principales resultados son los siguientes.

Lema 1: Para cualquier f ∈ V, existe un g ∈ U tal que f(x)/g(x) → 0 cuando x → 0.

Prueba: Elegir cualquier función suave r: ℝ⁺→ ℝ⁺ con r(0) = 1 y r(x) = 0 para x ≥ 1. Por ejemplo, podemos utilizar r(x) = exp(1-1/(1-x)) para x < 1. Entonces, la idea es elegir una secuencia de positivos reales α_k → 0 satisfactoria ∑_k α_k < ∞, y establecer

$$g(x) = x^{\theta(x)},\ \ \ \ theta(x)=\sum_{k=1}^\infty r(x/\alpha_k)$$

para x > 0 y g(x) = 0 para x ≤ 0. Sólo un número finito de términos en la suma será distinto de cero fuera de cualquier barrio de 0, por lo que está bien definida y de expresión, y suave en x > 0. Claramente, θ(x) → ∞ y, por lo tanto, x^-n g(x) → 0 cuando x → 0. Necesita ser demostrado que todas las derivadas de g se desvanecen en 0, por lo que g ∈ U. Como r y todos sus derivados están delimitadas con soporte compacto, r⁽ⁿ⁾(x) ≤ K_nx^-n-1 para algunas constantes de K_n. El n^th derivado de la θ es

$$\theta^{(n)}(x)=\sum_k\alpha_k^{-n}r^{(n)}(x/\alpha_k)\le K_nx^{n-1}\sum_k\alpha_k$$

que ha exponencialmente delimitada crecimiento en 1/x. Los derivados de registro(g) satisfacer

$$\frac{d^n}{dx^n}\log(g(x))=\frac{d^n}{dx^n}\left(\log(x)\theta(x)\right)$$

que también tiene exponencialmente delimitada crecimiento en 1/x. Sin embargo, la derivada en el lado izquierdo es g⁽ⁿ⁾(x)/g(x), además de un polinomio g⁽ⁱ⁾(x)/g(x) para i < n. Así, la inducción da que g⁽ⁿ⁾(x)/g(x) tiene exponencialmente delimitada crecimiento en 1/x y, multiplicando por g(x), g⁽ⁿ⁾(x) → 0 cuando x → 0.

Por definición de f ∈ V, existe una disminución de la secuencia de positivos reales ε_k tal que f(x) ≤ xⁿ x ≤ ε_n. Sólo tenemos que asegurarnos de que α_k ≤ ε_n+1 para k ≥ n para asegurarse de que g(x) ≥ x^n-1 para ε_n+1 ≤ x ≤ min(ε_n,1). Entonces f(x)/g(x) tiende a cero en la tasa de x cuando x → 0. █

Lema 2: Para cualquier secuencia de f₁,f₂,... ∈ V existe un g ∈ U tal que f_k(x)/g(x) → 0 cuando x → 0 para todo k.

Prueba: La idea es aplicar el Lema de 1 a f(x) = Σ_k l_k|f_k(x)| para la positiva reales λ_k. Esto funciona siempre que f ∈ V, que es el caso si Σ_k l_ksup_x≤kmin(x,1)^-k|f_k(x)| es finito, y esta condición es fácil de garantizar. █

Lema 3: Para cualquier secuencia de f₁,f₂,... ∈ V existe un g ∈ U tal que f_k(x)/g(x)ⁿ → 0 cuando x → 0 para todos los enteros positivos k,n.

Prueba: Aplicar el Lema 2 a la doblemente indexado secuencia f_k,n = |f_k|^1/n.

El resultado se sigue de aplicar el lema de 3 a la triplemente indexado secuencia f_i,j,k(x) = max{|(d^i+j/dxⁱdy^j)g(x,y)|: |y| ≤ k} ∈ V. Entonces existe un a ∈ U tal que f_ijk(x)/a(x)ⁿ → 0 cuando x → 0. Conjunto G(x,y) = f(x,y)/a(x) para x > 0 y G(x,y) = 0 para x ≤ 0. En cualquier región acotada por x > 0, las derivadas de G(x,y) para cualquier fin están delimitadas por una suma de términos, cada uno de los cuales es un producto de f_ijk(x,y)/a(x)ⁿ de los derivados de una(x), por lo que este se desvanece cuando x → 0. Por Lo Tanto, G ∈ C^∞(ℝ²). █

De hecho, utilizando un método similar, el caso sencillo en el que se puede generalizar arbitraria de las inundaciones.

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Sea p: M →N una inmersión. Si h ∈ C^∞(N) y g ∈ C^∞(M) cumplir hg = 0 entonces g = aG para algunos G ∈ C^∞(M) y a ∈ C^∞(N) la satisfacción de ha = 0.

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Muy Boceto: Si S ⊂ N es el conjunto abierto {h≠0}, entonces g y todos sus derivados se desvanecen en la p^-1(S). La idea es elegir un parámetro suaves u:N-S →ℝ⁺ que se desvanece linealmente con la distancia a S. Esto se puede hacer a nivel local y luego extendida a la totalidad de N (estoy asumiendo colectores de satisfacer la segunda countability de la propiedad). Como todos los derivados de g se desvanecen en la p^-1(S), u^-ng tiende a cero en el límite de S. para Ello se utiliza el hecho de que p es una sumersión, de modo que u también va a cero linealmente con la distancia de p^-1(S) en M.

Luego, siguiendo un argumento similar como el anterior, puede ser expresado por una función de u, de modo que g/a y todos sus derivados tienden a cero en el límite de S. Finalmente, G=0, en el cierre de p^-1(S) y G=g/a en otros lugares. █

Supongo que la siguiente pregunta es: ¿demostrando el caso especial por encima de un solo g y h reducir la prueba de nivelación para la manipulación algebraica?