¿Las QFT "típicas" carecen de una descripción lagrangiana?

Question

A veces, como resultado de aprender cosas nuevas, te das cuenta de que estás increíblemente confundido sobre algo que creías entender muy bien, y que quizás tu intuición necesita ser revisada. Esto me ocurrió al pensar en las descripciones no lagrangianas de las QFT. A continuación daré una breve descripción de mi intuición y de los motivos por los que creo que ha sido cuestionada, pero en aras de la claridad, ésta es mi pregunta: ¿tienen las QFT "típicas" o "genéricas" descripciones lagrangianas? ¿Cómo se puede cuantificar el tamaño del conjunto de QFT con y sin descripciones lagrangianas? Cuando se dice que una QFT no tiene descripciones lagrangianas, ¿significa esto que realmente no la tiene, o sólo que tal descripción es difícil o imposible de encontrar?

Como joven estudiante de QFT, estudié el enfoque wilsoniano de RG y me dejó una comprensión muy simple y geométrica de la teoría de campos. Para describir algún proceso físico como una QFT, primero hay que entender las simetrías del problema (como la simetría de Poincare, las simetrías gauge y las globales). Luego se escribe una polinomio Lagrangiano consistente con estas simetrías. Como ejemplo, consideremos el caso de un $O(n)$ campo escalar $\vec{\phi}$ (y limitémonos a los lagrangianos con el término cinético estándar de dos derivadas sólo para simplificar):

$ \mathcal{L} = -\frac{1}{2} (\nabla \vec{\phi})^2 + a_2 \vec{\phi}^2 + a_4 \left( \vec{\phi}^2 \right)^2 + a_6 \left( \vec{\phi}^2 \right)^3 + ...$

Desde la RG wilsoniana, estoy acostumbrado a pensar en el espacio de posibles teorías de campo (con las restricciones de simetría impuestas anteriormente) como correspondiente al espacio de parámetros de dimensión infinita $a_2, a_4, a_6, ...$ . Un punto en este espacio especifica un Lagrangiano y define una teoría de campo. El flujo RG se representa simplemente como una trayectoria desde un punto (en el UV) a otro (en el IR). Muchos puntos de partida diferentes pueden tener el mismo punto final, lo que permite dibujar una sencilla descripción pictórica de las clases de universalidad.

Así que desde esta lógica pensaría que todas las QFT admiten descripciones lagrangianas, pero algunas de ellas podrían requerir un número infinito de términos de interacción. Esta intuición fue cuestionada al leer sobre las CFT y la dualidad gauge/gravedad. En estos contextos, las descripciones lagrangianas de la teoría de campo casi nunca se escriben. De hecho, según la gauge/gravedad generalizada (es decir, la creencia de que la gravedad con condiciones de contorno AdS es dual a alguna CFT), podría parecer que muchas QFT no admiten descripciones lagrangianas. Este gauge/gravedad generalizado debería funcionar bien en $D=100$ y la teoría de campo del punto fijo UV ciertamente no admite una descripción lagrangiana simple, ya que en una dimensión suficientemente alta todos los términos de interacción son relevantes (y por lo tanto despreciables en el UV), lo que sugeriría que el punto fijo UV es simplemente libre, pero eso por supuesto no es el caso.

Llegué a esta confusión pensando en AdS/CFT, pero me encantaría simplemente tener una sólida comprensión de lo que significa exactamente que una QFT no tenga una descripción lagrangiana, y una idea de lo "típicas" que son tales teorías.

Edición: Y permítanme añadir una breve discusión sobre las CFT. A partir del enfoque bootstrap de las CFT, uno comienza con los "datos" de la CFT, es decir, un conjunto de dimensiones conformes y coeficientes OPE, y luego, en principio, uno debería ser capaz de resolver la CFT (con esto me refiero a calcular todas las funciones de correlación). Así que aquí tenemos una forma totalmente diferente de caracterizar las teorías de campo, que sólo se aplica a las teorías conformes. Las que no son CFT pueden obtenerse mediante RG que se aleja de estos puntos fijos. Sería útil entender la conexión entre esta forma de pensar sobre las QFT generales y la anterior wilsoniana.

Answer 1

Según mi lectura de tu pregunta, pareces haber confundido lo que realmente queremos decir con el enfoque wilsoniano, una QFT y una densidad lagrangiana, así que espero tratarlas por turnos y espero que te ayude.

El enfoque wilsoniano de la QFT puede utilizarse para hacer dos cosas, la primera es el caso más utilizado y aplicado en la física de partículas, que consiste en encontrar los flujos RG de las constantes de acoplamiento, lo que a su vez reduce (o se deshace de) las divergencias en la teoría al permitir el debilitamiento del acoplamiento a energías más altas y, por tanto, reducir el efecto de las correcciones de bucle. El otro uso, que es para lo que yo utilizo la técnica wilsoniana, es la EFT. Este es el proceso de integrar las correcciones de orden superior en la teoría y luego utilizar una expansión polinómica para aproximar el Lagrangiano de la acción. Ambos procesos son, en última instancia, el mismo, sólo que con un resultado diferente. En el primer caso absorbemos todos los términos extra en los flujos RG y en el segundo admitimos términos de contacto local en la teoría que expresan la contribución de alta energía al comportamiento de baja energía. Por lo tanto, si un lagrangiano admite un número infinito de términos, es probable que sea una EFT.

Esto nos lleva a tus preguntas sobre la gravedad y las QFT "típicas". En el caso de la gravedad, la mayoría de los cálculos que realizamos utilizan una EFT de un tipo u otro (hay excepciones, pero no son QFT en el sentido más estricto del término). Utilizamos la EFT porque podemos explorar las correcciones de baja energía al comportamiento gravitatorio en un fondo estático sin ignorar los efectos de mayor energía. SIN EMBARGO, en el caso de la gravedad, en realidad escribimos primero la EFT y luego la utilizamos, y eso es porque no tenemos una teoría completa de la gravedad con UV y, por tanto, sólo podemos estar seguros de que la EFT es correcta. En la actualidad, los investigadores del Imperial College están intentando utilizar las EFT y los postulados de la matriz S para obtener algún conocimiento de la acción completa UV (merece la pena buscar en Google). Por lo tanto, si una QFT no tiene un lagrangiano puede ser simplemente que su lagrangiano completo UV no existe y que escribir cualquier otra cosa sería confuso e inútil.

El otro argumento sería que en la QFT la teoría fundamental no debería escribirse en términos de un lagrangiano, sino en términos de una acción, ya que normalmente ésta es la única cantidad invariante gauge que podemos escribir. El campo libre de Rarita-Schwinger es un ejemplo de ello. Por lo tanto, el enfoque lagrangiano es en realidad bastante raro cuando se piensa en QFTs más complicadas, porque simplemente no tienen las propiedades que requerimos para utilizarlas, es más, a menudo quedan mal definidas en espacios-tiempo no estáticos (o casi no estáticos) porque no tienen una evolución métrica bien definida sin la medida de la acción. De ahí que estas teorías requieran la aplicación explícita del principio de variación para descubrir su física.

Así que, en resumen, una QFT "típica" no tiene un Lagrangiano porque el universo es demasiado complicado. Sólo podemos trabajar realmente con acciones y EFTs, dicho esto, los sistemas simples tienen Lagrangianos que admitirán un tratamiento Lagrangiano pero las CFTs no son un sistema de este tipo.

Answer 2

Yo diría que un requisito mínimo para una QFT sería la posibilidad de definir y calcular de algún modo la matriz S (quizás con unitaridad: por ejemplo, puedes relajar la localidad, la invariancia local-Poincarè y quizás la microcausalidad). Si puedes definir los campos cuánticos de tu teoría en el entorno en el que trabajas (las relaciones de conmutación podrían darte problemas dependiendo de cuánto relajes los supuestos estándar) entonces deberías poder llegar al Lagrangiano viéndolo como el generador de los operadores que aparecen en la teoría (a través de las versiones relajadas de la evolución temporal o la integral de trayectoria).

Estos operadores podrían leerse a partir de la matriz S con cierta libertad en sus definiciones: se podría tomar cada correlacionador como un operador diferente o se podría llegar a un subconjunto de operadores que genere todos los demás. Estos operadores (o algún resumen de algunos de ellos) pueden ser no locales o evadir los requisitos lagrangianos estándar (renormalizabilidad, por ejemplo).

Ahora, sin embargo, observa que en la QFT estándar tu fondo debe ser un punto estacionario de la acción, es decir, que satisface las ecuaciones de Euler Lagrange para un Lagrangiano clásico. El conocimiento previo de un Lagrangiano "clásico" del que surge el fondo es relevante ya que equivale a poder reformular tu problema con el vacío como fondo. En general, debería ser posible tratar con esto relajando los supuestos estándar (en particular, aquí estoy pensando en tener un Lagrangiano escalar); las otras contribuciones al Lagrangiano procedentes de la inspección de la matriz S serán correcciones al "Lagrangiano de fondo".

El comportamiento de la teoría bajo el cambio de escala de energía debe incluirse en la matriz S para empezar.

En conclusión, mi impresión es que puede haber situaciones en las que la definición de los campos y sus relaciones de conmutación sea difícil e impida un tratamiento lagrangiano estándar aunque se puedan definir operadores y correlacionadores.

Espero que este punto de vista pueda ayudarte a aclarar tus dudas.