Encontrar pdes de componente de velocidad y presión

Question

Un fluido viscoso incompresible de densidad constante $$ and kinematic viscosity $$ ocupa el espacio por encima de un límite sólido en $y = 0$ en coordenadas cartesianas bidimensionales $(x,y)$ . Para el tiempo $t < 0$ El líquido y la pared sólida están inmóviles. En el momento $t = 0$ la pared sólida se pone de repente en movimiento con una velocidad constante $(U,0,0)$ . Para el tiempo $t > 0$ , la pared sigue moviéndose con la misma velocidad. En ausencia de gravedad, las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes son $$·\textbf u = 0$$ $$ \frac{ \textbf u}{ t} +(\textbf u·)\textbf u = \frac{1} p+ ^2 \textbf u$$ donde $p$ es la presión.

Supongamos que $\textbf u = (u(y,t),0,0)$ y $p = p(y,t)$ . Determinar las ecuaciones diferenciales parciales para $u(y,t)$ y $p(y,t)$ .

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¿Puede alguien guiarme sobre cómo hacer esto, por favor? ¿Simplemente reordenamos la ecuación de Navier para encontrar la presión. Y para $u(y,t)$ ¿no es esto sólo una función de $y$ y $z$ ? Porque si la ecuación de continuidad se cumple, y la segunda y tercera de las componentes de la velocidad son cero, entonces sus derivadas parciales también serían cero, por lo que sólo te queda $\partial u / \partial x=0$ que da $u=f(y,z)$

Answer 1

La derivación de la EDP básica requiere una combinación de razonamiento matemático y físico para eliminar variables y, sin embargo, dar una solución aceptable a las ecuaciones de Navier-Stokes.

Sin un componente de fuerza corporal externa y un componente de fuerza superficial en la placa en el $z-$ dirección, no habrá componente de velocidad en esa dirección, $w = 0,$ y sin gradiente $\frac{\partial u}{\partial z} = 0.$ Del mismo modo, sin inyección de masa o succión no habrá componente de velocidad en el $y-$ dirección, $v = 0$ . A altas velocidades, las inestabilidades podrían crecer, induciendo turbulencia y componentes / gradientes de velocidad no nulos en esas direcciones, pero la intención aquí es más bien resolver el primer problema de Stokes para el flujo laminar básico.

La ecuación de continuidad para el flujo incompresible, que expresa la conservación de la masa, es

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}= 0.$$

Con $v = w = 0$ tenemos

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 0,$$

y como $\frac{\partial u}{\partial z} = 0$ como se ha argumentado anteriormente, se deduce que $ u = u(y,t)$ .

Las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a

$$\frac{\partial u}{\partial t } = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x } + \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2 }, \\ \frac{\partial p}{\partial y } = 0,\\ \frac{\partial p}{\partial z } = 0.$$

Por lo tanto, $p$ no puede depender de $y$ o $z$ y como $u$ depende sólo de $y$ y $t$ el $u-$ La ecuación del momento implica $\frac{\partial p}{\partial x} = C(t).$ Si la presión es uniforme lejos de la placa, entonces en ausencia de fuerzas del cuerpo (despreciando la gravedad) podemos suponer $C(t) = 0.$

La ecuación gobernante es

$$\frac{\partial u}{\partial t } = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2 }, $$

y las condiciones iniciales y de contorno son

$$u(y,t) \to 0 \,\,\, \text{as} \,\,\, y \to \infty,\\ u(0,t) = U \,\,\, \text{for} \,\,\, t \geqslant 0+, \\u(y,0) = 0.$$