Probar que una variable es verdadera mediante reglas de inferencia

Question

Pregunta : Utilice las reglas de inferencia para demostrar que si $(p q) (q p),\; t q,\; t p,\; (p q) t$ entonces $t$ es cierto.

El trabajo hasta ahora :

$$\text{1. }(p \implies q) \land (q \implies p)\text{ | Premise}$$ $$\text{2. }t \lor q\text{ | Premise}$$ $$\text{3. }t \lor p\text{ | Premise}$$ $$\text{4. }(p \land q) \implies t\text{ | Premise}$$ $$\text{5. }p \iff q\text{ | Biconditional Equivalency, Line 1}$$ $$\text{6. }t \lor (p \land q)\text{ | Distributive, Lines 2 and 3}$$

Estoy básicamente atascado en este problema. Aunque parece que las conclusiones hechas en las líneas 5 y 6 podrían ser útiles, no parece que me lleven a ninguna parte al probar $t$ es cierto. Creo que tengo que ser capaz de sacar el hecho de que una variable es verdadera o falsa de una o más de estas premisas y luego usar eso en las otras premisas para finalmente demostrar $t$ verdadero, pero no puedo averiguar cómo sacar alguna variable como verdadera o falsa de las cuatro premisas.

Answer 1

Voy a proporcionar una forma muy fácil, aunque larga, de hacerlo. Se empieza asumiendo que cuatro afirmaciones son verdaderas. Denotemos estas afirmaciones como sigue:

• $\alpha : (p\to q)\land (q\to p)$
• $\beta : t\lor q$
• $\eta : t\lor p$
• $\gamma : (p\land q)\to t$

Ahora descomponga el problema en cuatro casos basados en los valores de verdad de $p$ y $q$ .

• Caso 1: Supongamos que $p$ y $q$ son ambas verdaderas. Entonces $t$ debe ser verdadera para $\gamma$ que sea cierto.
• Caso 2: Supongamos que $p$ y $q$ son ambos falsos. Entonces $t$ debe ser verdadera para $\beta$ y $\eta$ para ser verdad.
• Caso 3: Supongamos que $p$ es verdadera y $q$ es falso. Entonces $t$ debe ser verdadera para $\beta$ que sea cierto.
• Caso 4: Supongamos que $p$ es falso y $q$ es cierto. Entonces $t$ debe ser verdadera para $\eta$ que sea cierto.

Como se ha visto en los cuatro casos anteriores, para todos los $\alpha,\beta,\eta,\gamma$ para que sea cierto, debemos tener que $t$ es verdadera en cada caso.