Energía para la cuerda amortiguada

Question

Para la cadena amortiguada( $u_{tt}-c^2u_{xx}+\gamma u_t=0,c=\sqrt{\frac{T}{p}}$ ), muestran que la energía disminuye.

$E = \dfrac{\int_{-\infty}^{\infty}p{u_t}^2+T{u_x}^2 dx}{2}$

$\dfrac{dE}{dt}=\dfrac{\int_{-\infty}^{\infty}2pu_tu_{tt}+2T{u_x}u_{xt} dx}{2}$ $=\dfrac{\int_{-\infty}^{\infty}2pu_t(c^2u_{xx}-\gamma u_t)+2T{u_x}u_{xt} dx}{2} = \dfrac{\int_{-\infty}^{\infty}2T(u_tu_x)_x-2p\gamma {u_t}^2 dx}{2}= {Tu_tu_x|_{-\infty}^\infty}-p\gamma \int_{-\infty}^\infty{u_t}^2dx$

Entonces, ¿cómo puedo llegar más lejos?

Answer 1

En primer lugar, una cadena se suele modelar como un intervalo fijo $[a,b]$ no $(-\infty,\infty)$ . En segundo lugar, no mencionas ninguna condición de contorno. Las condiciones de contorno estándar consisten en fijar los puntos extremos de la cuerda (así $u_t = 0$ en $x=a$ y $x=b$ ). Esto haría que el término de frontera con el que se termina fuera cero y nos quedamos con

$$\frac{dE}{dt} = - p\gamma \int_a^b u_t^2{\rm d}x$$

Por último, si $p\gamma > 0$ entonces el lado derecho es negativo (la integral de una función positiva sobre un intervalo dirigido positivo es positiva) por lo que $\frac{dE}{dt} < 0$ .