Linealidad del producto interior mediante la ley del paralelogramo

Question

Una norma sobre un espacio vectorial proviene de un producto interno si y sólo si satisface la ley del paralelogramo. Dada dicha norma, se puede reconstruir el producto interior mediante la fórmula:

$2\langle u,v\rangle = |u + v|^2 - |u|^2 - |v|^2$

(hay pequeñas variaciones al respecto)

Es sencillo demostrar, mediante la ley del paralelogramo, que esto se cumple:

1. $\langle u,u\rangle \ge 0$ para todos $u$ y $\langle u,u\rangle = 0$ si $u = 0$
2. $\langle tu,tu\rangle = t^2 \langle u,u\rangle$ ;
3. $\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle$ ;
4. $\langle u,v+w\rangle = 2\langle u/2,v\rangle + 2\langle u/2,w\rangle$ ;

A partir del 4 con el caso especial $w=0$ se deduce rápidamente que $\langle u,v+w\rangle = \langle u,v\rangle + \langle u,w\rangle$ .

El método habitual para demostrar $\langle u,tv\rangle = t\langle u,v\rangle$ es utilizar 4 con inducción para demostrar que $\langle u,nv\rangle = n\langle u,v\rangle$ , entonces deduzca $\langle u,tv\rangle = t\langle u,v\rangle$ para $t$ racional, y finalmente apelar a la continuidad para extenderla a los reales.

¿Hay alguna forma de evitar esto último? En particular, ¿hay una visión más geométrica de por qué $\langle u,tv\rangle = t\langle u,v\rangle$ para todos los reales $t$ ? ¡Las fotos serían geniales!

Si no es así, ¿hay una forma diferente de expresar la condición de que una norma provenga de un producto interior que sí haga que todas las condiciones sean obviamente geométricas?

Aclaración añadida posteriormente: Mi razón para preguntar esto es pedagógica. Enseño un curso en el que se introducen, en rápida sucesión, los espacios métricos, los espacios vectoriales normados y los espacios de producto interno. Las propiedades de las métricas y las normas son muy fáciles de motivar a partir de las propiedades intuitivas de las distancias y las longitudes. Me gustaría hacer lo mismo con los productos internos en términos de ángulos. Por tanto, con "geométrico" me refiero a la "intuición geométrica" más que a la geometría tal y como la entienden los geómetras. Dado que el producto interior se introduce después de la norma, sostengo que utilizando la ley del coseno se puede definir la noción de "ángulo" entre dos vectores utilizando cualquier norma. Sin embargo, a menos que la norma sea "especial", esa noción de ángulo no se comporta como esperaríamos que lo hiciera. En particular, para que los ángulos se sumen correctamente, es necesario que la norma satisfaga la ley del paralelogramo. Aquí "sumar" significa que (modulo a pi o dos), el ángulo de $u$ a $v$ más el ángulo de $v$ a $w$ debe ser el ángulo desde $u$ a $w$ . Una vez que se tiene la ley del paralelogramo, el hecho de que proceda de un producto interior se deduce por la vía anterior. Sin embargo, las propiedades de un producto interior no son particularmente obvias al pensar en las propiedades de los ángulos. Así que cuanto más fácil sea deducirlas de la ley del paralelogramo, más fácil será motivarlas. Considero que la ruta a $\langle u,\lambda v\rangle = \lambda\langle u,v\rangle$ para ser un poco largo. Esperaba que alguien pudiera acortarlo por mí.

Alternativamente, puede haber un punto de partida diferente a que los ángulos "se sumen". Tal vez alguna otra propiedad, por ejemplo, la similitud de ciertos triángulos, que podría ser utilizado. Sin embargo, me gustaría una sola propiedad que haría el lote. No quiero "sumar" para algunas propiedades y "algo más" para otras. Eso es demasiado complicado.

Answer 1

Para mí la continuidad es más geométrica e intuitiva que el resto del argumento (que es una manipulación puramente algebraica). Así que me tomo la libertad de malinterpretar tu pregunta de la siguiente manera:

• ¿Es posible derivar la linealidad del producto interior a partir de la ley del paralelogramo utilizando únicamente manipulaciones algebraicas?

Con "sólo algebraico" me refiero a que no está permitido utilizar desigualdades. (Es la desigualdad del triángulo la que permite utilizar la continuidad. De hecho, se puede derivar la continuidad utilizando sólo la desigualdad $|u|^2\ge 0$ y la ley del paralelogramo). Además, un argumento algebraico debe funcionar sobre cualquier campo en la característica 0.

La respuesta es que no es posible. Más concretamente, se cumple el siguiente teorema.

Teorema. Existe un campo $F\subset\mathbb R$ y una función $\langle\cdot,\cdot\rangle: F^2\times F^2\to F$ que es simétrico, aditivo en cada argumento (es decir $\langle u,v+w\rangle=\langle u,v\rangle+\langle u,w\rangle$ ), satisface la identidad $\langle tu,tv\rangle = t^2\langle u,v\rangle$ por cada $t\in F$ pero no es bilineal.

Nótese que los supuestos anteriores implican que la "forma cuadrática" $Q$ definido por $Q(v)=\langle v,v\rangle$ satisface $Q(tv)=t^2Q(v)$ y la identidad del paralelogramo, y el "producto" $\langle\cdot,\cdot\rangle$ se determina por $Q$ de la forma habitual. [EDIT: existe un ejemplo para $F=\mathbb R$ también, ver Actualización].

Prueba del teorema. Dejemos que $F=\mathbb Q(\pi)$ . Un elemento $x\in F$ se representa de forma única como $f_x(\pi)$ donde $f_x$ es una función racional sobre $\mathbb Q$ . Definir un mapa $D:F\to F$ por $D(x) = (f_x)'(\pi)$ . Este mapa satisface

• $D(1) = 0$ ;

• $D(\pi)=1$ ;

• $D(x+y) = D(x)+D(y)$ ;

• $D(xy) = x D(y) + y D(x)$ .

Definir $P:F\times F$ por $P(x,y) = xD(y)-yD(x)$ . De las identidades anteriores es fácil ver que $P$ es aditivo en cada argumento y satisface $P(tx,ty)=t^2 P(x,y)$ para todos $x,y,t\in F$ . Por último, defina un "producto escalar" en $F^2$ por $$ \langle (x_1,y_1), (x_2,y_2) \rangle = P(x_1,y_2) + P(x_2,y_1) . $$ Satisface todas las propiedades deseadas pero no es bilineal: si $u=(1,0)$ y $v=(0,1)$ entonces $\langle u,v\rangle=0$ pero $\langle u,\pi v\rangle=1$ .

Actualización. Se puede comprobar que si $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es un "producto escalar falso" como en el teorema, entonces para dos vectores cualesquiera $u,v$ el mapa $t\mapsto \langle u,tv\rangle - t\langle u,v\rangle$ debe ser una diferenciación del campo base. (Una diferenciación es el mapa $D:F\to F$ satisfaciendo las reglas anteriores para sumas y productos). Así, los productos escalares falsos en $\mathbb R^2$ se clasifican en realidad por diferenciaciones de $\mathbb R$ .

Y las diferenciaciones no triviales de $\mathbb R$ existen. De hecho, una diferenciación puede extenderse desde un subcampo a cualquier campo ambiente (de característica 0). En efecto, por el lema de Zorn basta con extender una diferenciación $D$ de un campo $F$ a una extensión de un paso $F(\alpha)$ de $F$ . Si $\alpha$ es transcedental sobre $F$ se puede definir $D(\alpha)$ arbitrariamente y ampliar $D$ a $F(\alpha)$ por reglas de diferenciación. Y si $\alpha$ es algebraico, diferenciando la identidad $p(\alpha)=0$ , donde $p$ es un polinomio mínimo para $\alpha$ , produce un valor definido unívocamente $D(\alpha)\in F(\alpha)$ y luego $D$ se extiende a $F(\alpha)$ . Las extensiones son consistentes porque todas las identidades implicadas pueden realizarse en el campo de las funciones diferenciables sobre $\mathbb R$ donde las reglas de diferenciación son consistentes.

Por lo tanto, existe un producto escalar falso en $\mathbb R^2$ tal que $\langle e_1,e_2\rangle=0$ pero $\langle e_1,\pi e_2\rangle=1$ . Y estoy seguro de que he reinventado la rueda aquí - todo esto debería ser bien conocido por los algebristas.

Answer 2

La forma más fácil de ver cómo se "rompen" las cosas en el caso de una norma más general es observar la forma de su "esfera" unitaria: a menos que sea un elipsoide, no existe ninguna transformación lineal que lo lleve a una esfera euclidiana, y se deduce del teorema del eje principal que cada elipsoide está asociado a un producto interior único, y a la inversa.

Citando a Spivak Introducción comprensiva a la geometría diferencial, Vol. 2 , p. 210 (define una métrica de Minkowski como un mapa $F: v \to \mathbb{R}$ tal que $F(v) > 0$ para todos $v \neq 0$ y $F(\lambda v) = | \lambda | F(v)$ Así que esto se mantiene a fortiori bajo la hipótesis más fuerte de una norma):

TEOREMA. Sea $F: V \to \mathbb{R}$ sea una métrica continua de Minkowski sobre un $n$ -espacio vectorial de dimensiones $V$ . Supongamos que, para todo $p$ y $q$ en la esfera de la unidad $ \{ v \in V: F(x) = 1 \} $ existe una transformación lineal $\phi: V \to V$ tal que $\phi(p) = q$ y $F(\phi(v)) = F(v)$ para todos $v \in V$ . Entonces $F$ es la norma determinada por algún producto interno definido positivo.

PRUEBA: Sea $B = \{ v : F(v) \leq 1 \} $ y que $E$ sea el único elipsoide que contiene $B$ de menor volumen. Claramente, debe haber algún punto $p$ con $F(p) = 1$ y $p \in$ frontera $E$ . Sea $q$ sea cualquier otro punto con $F(q) = 1$ y $\phi: V \to V$ una transformación lineal con $\phi(p) = q$ tal que $F(\phi(v)) = F(v)$ para todos $v \in V$ . De esta última propiedad se deduce fácilmente que $\phi(E) \supset B$ . Además, $\phi(B) = B$ Así que $\phi$ es la preservación del volumen. Por la unicidad del elipsoide $E$ se deduce que $\phi(E) = E$ . En consecuencia, $q = \phi(p) \in$ frontera $E$ . En otras palabras, cada punto $q$ con $F(q) = 1$ está en el límite $E$ . Esto significa que $E = B$ .

Las pruebas necesarias de la existencia y unicidad de los elipsoides mínimos son, por supuesto, bastante fáciles de motivar geométricamente. También es fácil ver por qué esto resuelve el asunto: si las isometrías no actúan transitivamente en la esfera unitaria, es difícil definir el "ángulo entre dos vectores" de una manera sensata.

Dicho esto, una forma más sencilla de ver las cosas, para mí al menos, es la siguiente: dado cualquier producto interno sobre un $n$ -espacio vectorial real, existe una base ortonormal, en términos de la cual las cosas son "computacionalmente indistinguibles" de $\mathbb{R}^n$ con el producto interno habitual: a los coeficientes no les importa el aspecto de los vectores base. Esto reduce las cosas al caso del producto interior habitual, donde la "intuición geométrica" ha sido axiomatizado: por muy motivada que esté, algebraicamente, la ley de los cosenos es esencialmente cierta por definición .

En otras palabras, siempre tenemos la opción de escribir nuestros vectores de forma que se aplique la intuición "ordinaria"; incluso tenemos la opción de pensando en las cosas en los términos habituales, incluso cuando se trabaja en una "base de desviación". Entonces, ¿por qué complicar las cosas?

Por último, la continuidad no es "no geométrica" en este contexto: por la desigualdad del triángulo, la diferencia entre las longitudes de dos lados de un triángulo nunca es mayor que la longitud del tercer lado: $$\Big| \lVert x \rVert - \lVert y \rVert \Big| \leq \lVert x - y \rVert,$$ por lo que cualquier norma sobre un espacio vectorial real es continua, incluso Lipschitz.

Answer 3

Me cuesta entender a qué te refieres con "geométrico", ya que los productos internos que se comportan bien son esencialmente lo que necesitas para que la geometría funcione como se espera.

El teorema en cuestión (debido a Jordan y von Neumann, 1935) tiene dos pruebas en las páginas 114-118 de la obra de Istratescu Espacios de productos internos: teoría y aplicaciones (Lo encontré en Google Books). La primera es tu prueba, y la segunda implica primero demostrar que para u y v fijos, |u + tv|^2 es un polinomio de grado 2 en t (aquí es donde se utiliza la continuidad, junto con las secuencias aritméticas). A esto le sigue una manipulación algebraica que muestra que el término lineal del polinomio es un producto interior.

Por cierto, existe una "condición de Frechet" que es equivalente a la ley del paralelogramo, pero se parece más a un cubo que a un paralelogramo. Aparece al estudiar las formas cuadráticas y los haces de líneas.

Answer 4

Hay un libro de A. C. Thompson llamado "Geometría de Minkowski". En este contexto, "Geometría de Minkowski" significa la geometría de un espacio vectorial con una norma (no la geometría de la relatividad especial, como podría pensarse...). El capítulo 3.4 se llama "Caracterizaciones del espacio euclidiano" y tiene muchos teoremas que afirman que una norma proviene de un producto interno si se cumplen tales y tales condiciones (principalmente geométricas). Podrían ser útiles (por lo que veo... no conozco el libro en profundidad). En el libro de Thompson hay una referencia al libro de Dan Amir "Characterizations of inner product spaces" que también podría ser útil (pero ni siquiera he visto este libro).

Answer 5

Ciertamente estoy de acuerdo en que esa prueba es profundamente insatisfactoria. Sin embargo, parecía un poco mejor cuando dividí las cosas en un lema:

Los únicos endomorfismos continuos de $(\mathbb R,+)$ son los de la forma $f(a)=af(1)$ . Del mismo modo, cualquier endomorfismo continuo $f$ de $(\mathbb C,+)$ para lo cual $f(i)=if(1)$ debe tener $f(a)=af(1)$ $\forall a$ .

Ya hemos demostrado $a \mapsto \langle av,w \rangle$ es un endomorfismo de $(\mathbb R,+)$ o $(\mathbb C,+)$ (paso 4 anterior), y sabemos que es continua (composición de fns continuas), por lo que se deduce la linealidad.

(Por supuesto, es un automorfismo, no sólo un endomorfismo, a menos que $v\perp w$ .)

De este modo podemos ver que la última parte de la prueba no es un trozo de análisis al azar que se cuela de forma poco natural, sino un hecho importante sobre los campos asociados a nuestros espacios vectoriales.