Considere el siguiente problema:
Un vehículo (modelado como una partícula) entra en una trayectoria de arco circular en el punto $s_1$ (dado), véase la figura siguiente. Si en $s_2$ la velocidad del vehículo no debe superar una velocidad determinada $v_2 \geq 0$ , encontrar $v(s)$ (una función) que minimiza el tiempo que tarda el vehículo en ir de $s_1$ a $s_2$ dado también que la magnitud de la aceleración total $\|\vec{a}\|$ del vehículo no debe superar una constante conocida (positiva) $\alpha$ (es decir $0 \leq \|\vec{a}\| \leq \alpha$ ). El radio $\rho$ del arco circular entre $s_1$ y $s_2$ y por lo tanto la curvatura $k = 1 / \rho$ también son conocidos y contantes.
Este podría ser el caso, por ejemplo, en situaciones como la que se muestra en el siguiente esquema, ya que la curvatura del segmento que comienza en $s_2$ es mayor (o el radio es menor) que el que comienza en $s_1$ la velocidad factible a $s_2$ estará restringido por esa segunda curva cerrada y la restricción de la aceleración.
Sé que si $v(s_2) \geq \sqrt{\rho \alpha}$ entonces el óptimo $v(s)$ (es decir, la que minimiza el tiempo que tarda la partícula en viajar desde $s_1$ a $s_2$ ) es trivial $v(s) = \sqrt{\rho \alpha} = const$ ya que ésta es la velocidad máxima con la que la partícula puede desplazarse a lo largo del arco circular dada la restricción de la aceleración. En este caso, toda la aceleración disponible es la aceleración centrípeta. Así que los casos interesantes, tal y como yo lo veo, son aquellos en los que $v(s_2) < \sqrt{\rho \alpha}$ y por lo tanto $v(s) = v(s_2)$ es una solución subóptima.
Comienzo con el vector de aceleración total expresado en tangencial y normal (al arco en cualquier $s$ ), $$\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n \Rightarrow$$ $$\vec{a} = \frac{dv}{dt}\hat{e}_t + k\, v^2 \hat{e}_n$$
Donde $\hat{e}_t$ es el vector unitario tangente al arco circular (paralelo al vector velocidad de la partícula en cualquier punto del arco), $\hat{e}_n$ es el vector unitario normal a $ \hat{e}_t $ apuntando hacia la dirección de la componente centrípeta de la aceleración (es decir, desde la posición de la partícula hacia el centro del círculo del que el arco es un segmento) y $k$ la curvatura del arco.
La magnitud al cuadrado de la aceleración total es pues,
$$\|\vec{a}\|^2 = \left( \frac{dv}{dt} \right)^2 + \left( k\, v^2 \right)^2$$
Como quiero expresar la velocidad $v$ en términos del parámetro de longitud de arco $s$ Hago la siguiente sustitución
$$v = \frac{ds}{dt} \Rightarrow dt = \frac{ds}{v}$$ Espero que el óptimo $v(s)$ para pasar por $\|\vec{a}\| = \alpha$ es decir, la aceleración límite de la que dispongo. Esto lo asumo haciendo una analogía con el problema del movimiento lineal, donde en lugar de una trayectoria circular tendría una trayectoria lineal. Por tanto, combinando las dos últimas expresiones (y $\|\vec{a}\| = \alpha$ ) Me sale
$$\alpha^2 = \left( v\frac{dv}{ds} \right)^2 + \left( k\, v^2 \right)^2$$ la reordenación da
$$\left(\frac{dv}{ds} \right)^2 = \frac{\alpha^2 - k^2 v^4}{v^2} \Rightarrow$$
$$\frac{dv}{ds} = \pm \sqrt{ \frac{\alpha^2 - k^2 v^4}{v^2}}$$ donde la dependencia de $v$ en $s$ es decir $v(s)$ se entiende.
Esta última expresión es la tasa de cambio de la velocidad $v(s)$ con el parámetro $s$ . Espero $dv/ds$ sea cero o negativo. Si $v_2 = \sqrt{\alpha / k}$ entonces la tasa de cambio de $v(s)$ con $s$ debe ser $0$ . Esta es la velocidad máxima que puede alcanzar la partícula manteniendo la trayectoria circular dada (en vista de la restricción de aceleración). Si $v_2 < \sqrt{\alpha / k}$ Espero que la tasa de cambio sea negativa, es decir, que la partícula comience con una velocidad $v_1 > v_2$ y a medida que nos acercamos $s = s_2$ la velocidad tiende a la velocidad de restricción $v_2$ impuesta por el planteamiento del problema en $s_2$ . Por lo tanto, es lógico descartar el signo más en la expresión anterior y mantener sólo el signo menos, ya que espero que la tasa de cambio de la velocidad ( $v(s)$ ) con $s$ para ser $0$ o negativo (y en cualquier caso un número real). Por lo tanto,
$$\frac{dv}{ds} = - \sqrt{ \frac{\alpha^2 - k^2v^4}{v^2}} \Rightarrow$$
$$\int \sqrt{\frac{v^2}{\alpha^2 - k^2v^4}} \mathrm{d}v = - \int ds$$ Multiplicando ambos lados por $k$ (que es constante debido a que la trayectoria es un segmento circular) y fijando $\alpha/k = v_{lim}^2$ obtenemos $$ \int \sqrt{\frac{v^2}{v_{lim}^4 - v^4}} \mathrm{d}v = - k \int ds $$ Aplicando los límites de integración en ambos lados definidos por el enunciado del problema tenemos
$$\int_v^{v_2} \sqrt{\frac{v^2}{v_{lim}^4 - v^4}} \mathrm{d}v = - k \int_s^{s_2} ds$$
La forma en que intuyo este último resultado es la siguiente: Dado $v_2$ y $s_2$ resolviendo la integral se obtendrá la función $v(s)$ que minimiza el tiempo $t$ que tarda el vehículo en desplazarse desde algún punto $s \leq s_2$ a $s_2$ .
La parte izquierda de la ecuación formada por las integrales indefinidas anteriores la he resuelto mediante wolfram alpha y he encontrado la solución (para $v_{lim},v \geq 0$ ) para ser
$$\int \sqrt{\frac{v^2}{v_{lim}^4 - v^4}} \mathrm{d}v = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{v^2}{\sqrt{v_{lim}^4-v^4}}\right) (-1)^{\big\lfloor \tfrac{arg(v_{lim}^4-v^4)+}{2} \big\rfloor} + const$$
Donde $\tan^{-1}() = \arctan()$ es la función tangente inversa, los corchetes en el exponente de $(-1)$ significan la función del suelo y $arg(z)$ es la función de argumento complejo. El exponente del término $(-1)$ es por tanto cero dado que $v_{lim}^4 - v^4$ es real y no negativo, es decir, la desigualdad $v^2 \leq v_{lim}^2$ se mantiene. Por lo tanto, lo anterior puede simplificarse a $$ \int \sqrt{\frac{v^2}{v_{lim}^4 - v^4}} \mathrm{d}v = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{v^2}{\sqrt{v_{lim}^4-v^4}}\right) + const $$
Dado este resultado, ahora podemos escribir la ecuación que involucra a las integrales definidas de la siguiente manera
$$\int_v^{v_2} \sqrt{\frac{v^2}{v_{lim}^4 - v^4}} \mathrm{d}v = - k \int_s^{s_2} ds \Rightarrow$$
$$ \tan^{-1}\left(\frac{v_2^2}{\sqrt{v_{lim}^4-v_2^4}}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{v^2}{\sqrt{v_{lim}^4-v^4}}\right) = - 2\, k\,(s_2 - s)$$
El primer término del lado izquierdo de la expresión anterior es un término constante. Estableciendo
$$ A = \tan^{-1}\left(\frac{v_2^2}{\sqrt{v_{lim}^4-v_2^4}}\right) $$
tenemos
$$\tan^{-1}\left(\frac{v^2}{\sqrt{v_{lim}^4-v^4}}\right) = A + 2\, k\, (s_2 - s) \Rightarrow$$
$$ \frac{v^2}{\sqrt{v_{lim}^4-v^4}} = \tan \left( A + 2\, k\, (s_2 - s) \right) $$
de lo que es fácil deducir
$$v^4 = v_{lim}^4\ \frac{\tan^2\left(A + 2\, k\, (s_2 - s) \right)}{1 + \tan^2\left(A + 2\, k\, (s_2 - s) \right)} \Rightarrow$$
$$v^4 = v_{lim}^4\ \sin^2\left(A + 2\, k\, (s_2 - s)\right) \Rightarrow$$
$$v^2 = \pm\ v_{lim}^2\, \sin\left(A + 2\, k\, (s_2 - s)\right) \Rightarrow$$
$$v(s) = \pm\ v_{lim}\ \sqrt{\pm \sin\left(A + 2\, k\, (s_2 - s)\right)}$$
Desde $v \geq 0$
$$v(s) = v_{lim}\ \sqrt{\pm \sin\left(A + 2\, k\, (s_2 - s)\right)}$$
En la figura siguiente, en la línea sólida negra, está el gráfico de
$$v(s) = v_{lim}\ \sqrt{\sin\left(A + 2\, k\, (s_2 - s)\right)}$$
y en la línea roja discontinua el gráfico de
$$v(s) = v_{lim}\ \sqrt{\sin\left(\min\left(A + 2\, k\, (s_2 - s), \pi/2\right)\right)}$$
(nótese la función min(a,b), donde min(a,b) da el mínimo entre los números a y b) para algunos valores de $v_2$ , $\alpha$ , $\rho$ y $s_2$ .
Es evidente que la función de velocidad óptima $v(s)$ (el que minimiza el tiempo para alcanzar $s_2 = 20.94(m)$ ) es proporcionada por la línea roja discontinua. Las dos líneas son idénticas para $s > 6.52\ (m)$ pero no para $s < 6.52\ (m)$ . En ese momento la velocidad límite $v_{lim}$ se ha alcanzado. Es la velocidad máxima a la que puede viajar la partícula manteniendo la trayectoria circular dada la restricción de aceleración.
Tener que utilizar la función "min" en la última expresión anterior parece algo "ad hoc". Así que mi pregunta es si hay otras formas de abordar este problema para llegar a la misma solución.
Así que me gustaría pedir cualquier crítica a mi enfoque, en su totalidad o para cualquier paso individual que he tomado, y si uno optaría por una manera diferente de resolver este problema.
También me interesan las generalizaciones de este problema. Por ejemplo, qué cambia en el método si el arco circular está contenido en un plano inclinado (es decir, un plano para el que $\hat{n} \cdot \vec{g} \neq -1$ , donde $\hat{n}$ es el plano de movimiento normal y $\vec{g}$ el vector de aceleración gravitacional). También el problema de que el arco no es circular sino que tiene una curvatura $k$ que depende del parámetro $s$ (es decir $k(s)$ ). Supongo que la ecuación integral sería mucho más difícil de resolver en este caso.
También si existe un enfoque, o marco teórico, dentro del cual se puedan abordar todas estas generalizaciones/preocupaciones.
