¿Demostrando que f(0) está limitada por encima de la media geométrica de la suma sobre intervalos?

Question

Así que estoy trabajando en el siguiente problema.

Supongamos que $f$ está completo y $n$ es un número entero positivo fijo. Si $$I_k:=\left[\frac{2(k-1)\pi}{n},\frac{2k\pi}{n}\right],$$ para $k=1,2,\dots,n$ y $$\alpha_k:=\sup_{\theta\in I_k}|f(e^{i\theta})|,$$ demostrar que $|f(0)|\leq (\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n)^\frac{1}{n}.$

Comencé señalando que $m(I_k)=\frac{2\pi}{n}\forall k.$ Luego utilicé la propiedad del valor medio para obtener $$|f(0)|\leq\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f(e^{i\theta})|d\theta=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=1}^n \int_{I_k} |f(e^{i\theta})|d\theta \leq \frac{1}{2\pi}\sum_{k=1}^n \frac{2\pi \alpha_k}{n}=\sum_{k=1}^n\frac{\alpha_k}{n}.$$

Ahora puedo ver que lo que tengo en el RHS es la media aritmética, pero en general $$\left(\prod_{i=1}^n \alpha_i\right)^\frac{1}{n}\leq\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_i}{n}.$$ Eso parece sugerir que mi ruta no está produciendo el más agudo con la que se ha de contar.

A continuación, pensé que tal vez podría utilizar la de Jensen para intentar forzar la aparición de la media geométrica, pero aún no he conseguido nada útil.

Cualquier consejo es muy apreciado.

Answer 1

Si $f(0)=0$ no hay nada que demostrar. A partir de ahora asume $f(0)\ne0$ .

Dejemos que $a_1,\dots,a_m$ sean los ceros de $f$ en $\{|z|<1\}$ . Supongamos primero que $f(z)\ne0$ si $|z|=1$ . Por la fórmula de Jensen $$ \log|f(0)|=\sum_{i=1}^m\log|a_k|+\frac{1}{2\,\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(e^{i\theta})|\,d\theta\le\frac1n\sum_{k=1}^n\log|\alpha_k|, $$ que da la desigualdad deseada.

Si $f(z)=0$ para algunos $z$ con $|z|=1$ , toma una secuencia $r_n\to1$ tal que $f$ no desaparece en $\{|z|=r_n\}$ aplicando el argumento anterior sobre el disco de radio $r_n$ y que $n\to\infty$ .