Limitar la distancia euclidiana entre dos puntos de un cono

Question

Tenemos un cono $y^\top D y=0$ ( $[y]_1 \geq 0$ ), donde $y \in \mathbb R^{n+1}$ , $[y]_1$ es el primer elemento de $y$ y \begin{equation} D=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{0_{1 \times n}}}\\ {{0_{n \times 1}}}&{ - {I_n}} \end{array}} \N - derecho] . \fin{s}{cabecera} $y^*$ y $\tilde y^*$ son dos puntos del cono y podemos descomponer $\tilde y^*-y^*$ en una suma ponderada de s conjuntos de vectores unitarios $$ \tilde y^*-y^*=\beta_1 z_1+\beta_2 z_2+\dots+\beta_l z_l+\beta^\bot z^\bot, $$ donde $z_i,i=1,\ldots,l$ ( $l \in \{1,\ldots,n\}$ es decir, $l$ puede variar de $1$ a $n$ ) son ortogonales entre sí y podemos calcularlas de antemano, y $z^\bot$ es ortogonal a $z_i,i=1,\ldots,l$ .

Ahora ya podemos atar $\beta^\bot z^\bot$ por una constante $\theta$ $$ \|\beta^\bot z^\bot\| \leq \theta. $$ Mi pregunta es si podemos atar $\|\tilde y^*-y^*\|$ en este problema?

Gracias por sus valiosos comentarios.

Answer 1

El vector $t=\bar y^*-y^*$ puede ser ilimitado incluso cuando $z^\perp=0$ , $n=1$ y $l=1$ . De hecho, si $n=1$ entonces el cono (que denotamos por $C$ ) es la unión de dos rayos ${(x,x):x\ge 0}$ y ${(x,-x):x\ge 0}$ . Gráficamente es fácil de adivinar y luego comprobar que $C-C=\{(x,y)\in\Bbb R^2: |x|\le |y|\}$ . Se deduce que para cada vector $z^\perp\in\Bbb R^2$ un conjunto $\{t\in C-C: (t,z^\perp)=0\}$ no tiene límites.