Si no hay ningún elemento $x \neq e$ en grupo abeliano finito tal que $x = x^{-1}$ entonces $a_1 a_2 \ldots a_n = e$

Question

Este problema lo he sacado de la página 41 de A Book of Abstract Algebra de Charles Pinter. Realmente no tengo ni idea de cómo abordar este problema.

Demuestra lo siguiente:

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finito.

1. Si no hay ningún elemento $x \neq e$ en $G$ tal que $x = x^{-1}$ entonces $a_1 a_2\ldots a_n=e$ .

2. Si hay exactamente un elemento $x\neq$ e en G tal que $x = x^{-1}$ entonces $a_1a_2 \ldots a_n=x$ .

Answer 1

Para (1). Piensa que para cada elemento $a \in G$ su inversa también está en $G$ . Así que una vez que se toma el producto y se utiliza la conmutatividad se puede emparejar cada elemento con su inverso y se obtiene $e$ .

Para (2). Aislar el elemento que es su propio inverso y emparejar el resto.

Answer 2

Pista única para ambas preguntas:

Obsérvese que podemos emparejar todos los elementos menos uno en $\;G\;$ como $\;(a_i,\,a_j)\;$ con $\;a_ia_j=e\;$ . También se nos da $\;i\neq j\;$ . Bien, ¿qué se puede hacer entonces con el producto $\;a_1\cdot\ldots a_i\cdot\ldots a_j\cdot\ldots\cdot a_n\;$ ? ¿Y si sólo hay un elemento con $\;a_k^2=e\;$ ?

Answer 3

Una pista: Cada elemento tiene su (única) inversa en $G$ por lo que debido a la conmutatividad (el grupo es abeliano) $a_1a_2a_3\dots a_n$ puede reescribirse en un orden tal que cualquier elemento esté junto a su inverso.