En el libro de CLRS, hay esta parte, donde se muestra que $$\lim_{n\to\infty}\frac{(n^b)}{(a^n)} = 0.$$ En el mismo capítulo, utiliza la citada ecuación para demostrar que cualquier función logarítmica crece más lentamente que cualquier polinómica, así, $$\lim_{n\to\infty}\frac{\log b^n}{ n^a}$$ . Lo hace sustituyendo lgn para n y 2^a para a en la primera ecuación. Cómo se permite sustituir los términos y demostrar la última ecuación.
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Fred
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Dejemos que $a_n:= \frac{\log b^n}{ n^a}$ entonces $a_n =\frac{n \log b}{ n^a}=\log b \frac{1}{n^{a-1}}.$
Podemos suponer que $\log b \ne 0.$
Caso 1: $a=1.$ Entonces $a_n \to \log b .$
Caso 2: $a>1$ . Entonces $a_n \to 0.$
Caso 3: $a<1.$ Entonces $a_n \to \infty$ , si $b>1$ y $a_n \to - \infty$ , si $0<b<1.$
蔡易翔
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Para los que buscan la prueba y el buscador les lleva a aquí. La proporcioné a continuación.
Empezar por $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^b}{a^n} = 0.$$ Sustituir ${\lg n}$ para ${n}$ y ${2^a}$ para ${a}$ tenemos $$\lim_{n\to\infty}\frac{\lg^b n}{{(2^a)}^{\lg n}} = 0.$$ Entonces $$\lim_{n\to\infty}\frac{\lg^b n}{{(2^{\lg n})}^a} = 0.$$ Por lo tanto, $$\lim_{n\to\infty}\frac{\lg^b n}{n^a} = 0.$$
Por lo tanto, se ha demostrado.
La razón por la que podemos sustituir ${\lg n}$ para ${n}$ puede explicarse por la definición de límite.
Dejemos que $f(x)$ sea una función de $ℝ$ a $ℝ$ .
La definición de $\lim_{x\to\infty}=A$ es que $$\forall\epsilon\gt0,\exists\delta\gt0\ni if\,n\in ℝ \,with\,n\gt\delta,\,then\,|f(x)-A|\lt\epsilon.$$
Supongo que sabes que $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^b}{a^n} = 0.$$
Por definición, $$\forall\epsilon\gt0,\exists\delta\gt0\ni if\,n\in ℝ \,with\,n\gt\delta,\,then\,|\frac{n^b}{a^n}-0|\lt\epsilon.$$
Ahora sustituye ${\lg n}$ para ${n}$ tenemos $$\forall\epsilon\gt0,\exists\delta\gt0\ni if\,\lg n\in ℝ \,with\,\lg n\gt\delta,\,then\,|\frac{\lg^b n}{a^{\lg n}}-0|\lt\epsilon.$$
Ya que si $\lg n\gt\delta$ , $n\gt2^\delta$ .
Así que toma un nuevo delta $\hat\delta = 2^\delta$ se convierte en $$\forall\epsilon\gt0,\exists\hat\delta=2^\delta\gt0\ni if\,n\in ℝ \,with\,n\gt\hat\delta,\,then\,|\frac{\lg^b n}{a^{\lg n}}-0|\lt\epsilon.$$
Que es $$\lim_{n\to\infty}\frac{\lg^b n}{n^a} = 0.$$ El concepto básico es que la sustitución sólo cambia la forma de tomar $\delta$ .
Y por qué podemos sustituir $2^a$ para $a$ es que ambos son constantes.
