Representaciones de Galois y bases normales

Question

No estoy muy familiarizado con la teoría de las representaciones de Galois, pero conozco un poco la teoría de Galois y la teoría de las representaciones. Recientemente aprendí sobre la noción de base normal para una extensión de Galois, lo que me llevó a considerar la siguiente representación de Galois directa: Sea $L/K$ sea una extensión de Galois y elija un $K$ -base para $L$ . Entonces cada elemento del grupo de Galois es un $K$ -y, por lo tanto, puede representarse como una matriz con respecto a la base elegida.

Pregunta 1: ¿Qué se sabe sobre la descomposición de esta representación?

Ya que un $K$ -base para $L$ contiene como máximo 1 elemento de $K$ me parece que hay a lo sumo 1 subrepresentación trivial. ¿Pueden darse todas las representaciones irreducibles? Si elegimos una normal base para $L/K$ entonces la representación descrita anteriormente será la representación de permutación, ¿no?

El problema de construir una base normal para una extensión de Galois me hizo preguntarme sobre los subespacios invariantes de Galois. Por ejemplo, en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ , puedo detectar rápidamente dos subespacios invariantes de Galois: $\mathbb{Q}$ y $\sqrt{2}\mathbb{Q}$ que estoy bastante seguro de que agota el suministro.

Pregunta 2: ¿Podemos utilizar la teoría de la representación para clasificar/especificar todos los subespacios invariantes de Galois de una extensión $L/K$ ?

Ayer leí una prueba de la existencia de bases normales, que no era trivial. Sin embargo, pensando en mi ejemplo anterior para $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ geométricamente, parece muy raro que una base elegida al azar no sea normal: si elegimos cualquier elemento que no esté en las dos líneas anteriores, su órbita de Galois será una base, ¿no?

Pregunta 3: ¿Seguirá siendo válida esta observación en general, y puede convertirse esta intuición en una prueba de la existencia de bases normales?

Answer 1

En efecto, la acción lineal de ${\rm Gal}(L/K)$ sur $L$ como $K$ -es la representación regular, y esto se deduce del teorema de la base normal: $K[G]\cong L$ a través de $u\mapsto u\alpha$ donde $\alpha$ 's $G$ -órbita es una base normal para $L/K$ . Se trata de un isomorfismo de la izquierda $K[G]$ -módulos, no álgebras, obviamente.

El tipo de isomorfismo y el conjunto de posibles descomposiciones de una representación no dependen de ninguna elección de la base del espacio vectorial. Sobre campos algebraicamente cerrados $K$ el álgebra de grupo de un grupo finito $G$ (con orden coprimo a ${\rm char}\,K$ ) satisface $K[G]\cong \bigoplus V\otimes_K V^*$ ya que ambos $K$ -y como $K[G]$ -bimódulos, donde $V$ varía sobre todas las representaciones irreducibles (hasta el isomorfismo) y $V^*$ representa el doble. Este es el Descomposición de Wedderburn de $K[G]$ .

Para más información $K$ la situación del álgebra no es tan agradable - el álgebra de grupo se descompone como una suma directa de álgebras matriciales sobre anillos de división. Utilizando la teoría de los caracteres podemos escribir de forma relativamente explícita $K$ -descomposición del álgebra a través de los idempotentes centrales primitivos:

$$K[G]\cong \bigoplus_{\chi\in{\rm \,Irr}}K[G]e(\chi), \qquad e(\chi)=\frac{\chi(1)}{|G|}\sum_{g\in G}\chi(g^{-1})g \tag{$ * $}$$

Este tema se trata con más detalle en la entrada del blog Idempotentes y teoría de los caracteres . Tenga en cuenta que esto se aplica a los genéricos $G$ (con la advertencia característica antes mencionada); asumiendo $G$ es un grupo de Galois sobre $K$ probablemente no cambie nada (de hecho, dependiendo de las respuestas a los problemas inversos de Galois abiertos, puede que no haya ninguna utilidad adicional en describir $G$ como grupo de Galois).

Como $L\cong K[G]$ como $G$ -módulo, $G$ -subespacios invariantes de $K[G]$ corresponden (en aplicación a un generador de base normal $\lambda\in L$ ) a $G$ -subespacios invariantes de $L$ . Teorema de Maschke dice que $K[G]$ es semisimple lo que significa, en particular, que todo submódulo de $K[G]$ se forma sumando algún subconjunto de sumandos en la descomposición de Wedderburn $(*)$ . Al pasar entre el álgebra $K[G]$ y el campo $L$ a través de $\lambda$ s hemos clasificado todos los $G$ -invariante de subespacios vectoriales.

Como mencioné antes con la galocidad de los grupos que no tiene relevancia para el problema; la totalidad más o menos de lo que se divulga arriba es pura teoría de la representación sin ningún contenido de teoría de números. Para más información sobre los fundamentos de la teoría de la representación hay muchos buenos recursos en línea que son fáciles de encontrar, por ejemplo Murnaghan o Etingof y otros .

Esto no significa que nunca haya un componente especial de la teoría de los números en los ataques de la teoría de la representación a la estructura algebraica en la teoría de los números. Si ${\cal O}_L$ y ${\cal O}_K$ son los anillos de enteros de $L$ y $K$ entonces la acción de Galois desciende a ${\cal O}_L$ y ${\cal O}_K$ es invariable. Por lo tanto, ${\cal O}_L$ se convierte en un módulo sobre ${\cal O}_K[G]$ y podemos preguntar por su estructura como tal. Como es el caso, ${\cal O}_K[G]$ es en realidad "demasiado pequeño" (no hay suficientes escalares que actúen sobre ${\cal O}_L$ ) para ser agradable; se pasa al orden asociada definido como ${\frak A}_{L/K}:=\{u\in K[G]:u{\cal O}_L\subseteq{\cal O}_L\}$ y se puede considerar, en cambio, la llamada más natural Estructura del módulo de Galois de ${\cal O}_L$ en ${\frak A}_{L/K}$ . Thomas estudia las extensiones de campo locales.

Edición: Lo que escribí originalmente en respuesta a la tercera pregunta se aplica a la existencia de elementos primitivos, no a las bases normales.