Echa un vistazo a esta matriz: $$ H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}} \right).$$ Todos los principales menores de $H$ son no negativos. Sin embargo, $H$ es una matriz indefinida, ya que $H$ son los valores propios de $-1,-1,1,1$ .
Respuesta
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Lo que sí es cierto es que una matriz simétrica es positiva definitivamente si todos sus menores principales son positivos. Para convertir esto en un criterio de semidefinición positiva, se añade un pequeño $\epsilon$ a la diagonal: $$ H+\epsilon = \begin{pmatrix} \epsilon&0&1&0 \\ 0&\epsilon&0&1 \\ 1&0&\epsilon&0 \\ 0&1&0&\epsilon \end{pmatrix}. $$ Los principales menores son $$ \epsilon, \epsilon^2, -\epsilon + \epsilon^3, 1-2\epsilon^2+\epsilon^4. $$ Como puede ver, para los pequeños $\epsilon>0$ la tercera menor es negativa. De hecho, podemos establecer un criterio para saber cuándo una menor es positiva para las pequeñas $\epsilon$ su coeficiente principal (la menor potencia de $\epsilon$ ) tiene que ser positivo. Si esto es cierto para todos los menores, entonces la matriz es semidefinida positiva.
