Esto no utiliza necesariamente los teoremas a los que te refieres (no tengo ese libro), pero esta es la prueba que yo conocía. Espero que te ayude de todos modos. Recuerda que en un espacio métrico completo, totalmente acotado (con $\varepsilon$ -red para cualquier $\varepsilon$ ) y relativamente compacto son los mismos.
También supuse que su $T_n$ son continuos (es decir, acotados en este caso), porque, como se menciona en los comentarios, si no lo son el resultado es falso. Mis disculpas si esta no es la respuesta que necesitabas.
Para demostrar que $T$ es un operador compacto demostraremos que $T$ es continua y que $T(K)$ es relativamente compacto para $K \subset X$ limitado.
Desde $T$ es un límite uniforme de operadores continuos, también es continuo. De hecho, para cualquier $x \in X$ , por lo que tenemos \begin{align} \| T(x) - T(y) \| &= \| T(x) -T_n(x) + T_n(x) - T_n(y) + T_n(y) - T(y)\| \leq \\ & \leq \| T(x) - T_n(x)\| + \| T_n(x) - T_n(y)\| + \| T_n(y) - T(y)\| \to 0 \end{align} si $\| x-y\| \to 0$ ya que $T_n$ es continua (término medio) y $T_n \to T$ uniformemente (primer y tercer término).
Dejemos que $K \subset X$ sea un subconjunto acotado. Dado que $T_n(K)$ es relativamente compacto en $Y$ Banach, tiene un $\frac{1}{n}$ -red $y_i$ por lo que tenemos, para $x \in K$ , $$ \| T(x) - y_i \| \leq \| T_n(x) - T(x)\| + \| T_n(x) - y_i\| \leq \tfrac{1}{n} + \tfrac{1}{n} = \tfrac{2}{n}; $$ es decir $T(K)$ tiene un $\frac{2}{n}$ -y, por lo tanto, es relativamente compacto, ya que $n$ es arbitraria. Así, $T$ es compacto.
