encontrar $f'''(0)$

Question

Dejemos que $f$ sea dada por

$$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2}&,x\ne 0\\\\0&,x=0\end{cases}$$

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Estoy tratando de calcular $f''(x)$ para $x\ne0$ y luego tratar de usar eso para calcular $f'''(0)=0$

Entonces, para $x\ne0$ ,

$$f''(x)=\frac{e^{-1/x^2}(4-6x^2)}{x^6}$$

mientras que para $x=0$ vemos que

$$\begin{align} f''(0)=? \end{align}$$

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Por último, tenemos

$$\begin{align} f'''(0)&=\lim_{x\to 0}\frac{f''(x)-f''(0)}{x}\\\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{e^{-1/x^2}(4-6x^2)}{x^6}-0}{x-0}\\\\ &=0 \end{align}$$

Pero en el segundo paso cómo encuentro $f''(0)$

Answer 1

Cada derivada de la función dada como el origen es igual a cero (por lo que la función dada es "horriblemente suave" en el origen, pero no analítica). Para cualquier $n\geq 1$ , $\frac{d^n}{dx^n}$ aplicado a $e^{-1/x^2}$ da un polinomio en $\frac{1}{x}$ veces $e^{-1/x^2}$ , digamos que $p_n\left(\frac{1}{x}\right) e^{-1/x^2}$ y

$$ \lim_{x\to 0^{\pm}} p_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2} = \lim_{z\to \pm\infty} p_n(z) e^{-z^2} = \color{red}{0}.$$

Answer 2

En ESTA RESPUESTA , demostré que $f'(0)=f''(0)=0$ .

Aquí, tenemos para $x\ne 0$ , $f''(x)=e^{-1/x^2}\frac{4-6x^2}{x^6}$

Por lo tanto, podemos escribir

$$\begin{align} f'''(0)&=\lim_{x\to0}\frac{f''(x)-f''(0)}{x}\\\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{e^{-1/x^2}\frac{4-6x^2}{x^6}}{x}\\\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{(4-6x^2)}{x^7e^{1/x^2}}\\\\ &=0 \end{align}$$

Para ver este último paso, podemos utilizar $e^t=1+t+\cdots +\frac{t^4}{4!}+O(t^5)>t^4/4!$ para $t>0$ . Por lo tanto,

$$\frac{(4-6x^2)}{x^7e^{1/x^2}}<\frac{(4-6x^2)4!x^8}{x^7}\to 0$$