¿Alguna intuición detrás del lema de los cinco?

Question

Ligeramente simplificado, el cinco lemas establece que si tenemos un diagrama conmutativo (en, digamos, una categoría abeliana)

$$\require{AMScd} \begin{CD} A_1 @>>> A_2 @>>> A_3 @>>> A_4 @>>> A_5\\ @VVV @VVV @VVV @VVV @VVV\\ B_1 @>>> B_2 @>>> B_3 @>>> B_4 @>>> B_5 \end{CD} $$ donde las filas son exactas y los mapas $A_i \to B_i$ son isomorfismos para $i=1,2,4,5$ , entonces el mapa del medio $A_3\to B_3$ también es un isomorfismo.

Este lema se me ha presentado varias veces en contextos ligeramente diferentes, pero la demostración ha sido siempre la misma persecución de diagramas técnicos y no se ha proporcionado ninguna otra intuición detrás de la afirmación. Así que mi pregunta es: ¿tienes alguna intuición cuando piensas en el lema de los cinco? Por ejemplo, las elecciones particulares del $A_i, B_i$ que hacen más transparente por qué el resultado debe ser verdadero? ¿Alguna analogía, heurística, ...?

Answer 1

Se puede pensar en el lema cinco en términos de los dos lemas cuatro. Creo que esto lo hace más claro... por ejemplo dejar caer el $A_1$ y $B_1$ de su diagrama. Si los mapas de $A_2$ y $A_4$ a $B_2$ y $B_4$ son epimorfismos y el morfismo $A_5 \to B_5$ es mónico, entonces el cokernel de $A_3 \to A_4$ es un subobjeto del cokernel de $B_3 \to B_4$ . Así que moralmente $B_3$ es una "extensión" de cocientes de $A_2$ y $A_4$ y no hemos "matado menos cosas" en la fila inferior así que $A_3 \to B_3$ debe ser también un epimorfismo.

Answer 2

Dado que las secuencias exactas largas provienen del empalme de secuencias exactas cortas, también podría preocuparse por el caso en que $A_1=A_5=B_1=B_5=0$ (al menos en lo que respecta a la intuición). Esto se desprende del lema de la serpiente, por supuesto, pero la versión en la que los mapas verticales exteriores son isomorfismos es una persecución de diagramas aún más fácil. Tal vez eso lo aclare.

En cuanto a por qué es cierto sin perseguir elementos, piensa en la misma versión simplificada, pero sólo para grupos abelianos. En general, por supuesto, se puede tener $G/H \cong G'/H'$ para muchos grupos $G,G'$ y los respectivos subgrupos $H,H'$ . En general, ese isomorfismo ni siquiera se elevará a un homomorfismo $G \to G'$ y mucho menos un isomorfismo. Del mismo modo, se podría tener $H \cong H'$ sin que ese isomorfismo se extienda a un homomorfismo $G \to G'$ . Sin embargo, si se tienen ambos, entonces el intento de levantar un isomorfismo y el intento de extender el otro tienen éxito.

Answer 3

Volviendo a la respuesta de Graham Leuschke: Supongamos que $A_1=A_5=B_1=B_5=0$ . Su versión simplificada del lema cinco se deduce entonces porque puede sustituir simplemente $A_2$ por $\mathrm{coker}(A_1\to A_2)$ etc. Podemos incluso utilizar los isomorfismos dados para identificar $A_2=B_2$ y $A_4=B_4$ .

Ahora, ambos $A_3$ y $B_3$ son extensiones de $A_4=B_4$ por $A_2=B_2$ . El lema simplificado de cinco se convierte en: dos extensiones son isomorfas si y sólo si existe un mapa entre ellas que es compatible con los morfismos de inclusión y de proyección. Ahora se podría cocinar una prueba diferente comparando los cociclos de grupo que definen $A_3$ y $B_3$ . Tal vez esto da alguna intuición.

Answer 4

Un ejemplo sería un mapa inducido por un morfismo $f: X \to Y$ en la secuencia homológica larga.

Por ejemplo, supongamos que la fila superior es una cohomología de par $(X, A)$ y la fila inferior es la cohomología del par $(Y, B)$ . Entonces el teorema dice que el $H^n(X, A)$ se puede apretar entre el $n$ -a y $(n-1)$ -cohomología de $X$ y $A$ porque cualquier morfismo que induzca un isomorfismo en ellas se extiende a $H^n(X, A)$ .

Answer 5

Es una variante de lo que ya han dicho otros, pero la siguiente afirmación me parece bastante intuitiva:

• Si G es un grupo y $f: X \to Y$ es un $G$ -que induce una biyección en los conjuntos orbitales $X/G \to Y/G$ y el isomorfismo de todos los grupos estabilizadores $G_x \to G_{f(x)}$ entonces $f$ debe ser una biyección.

Ahora, en la configuración del 5-lema, especializar a $X = A_3$ , $Y = B_3$ y $G = A_2 \cong B_2$ actuando por adición en $X$ y $Y$ . Por exactitud de las filas, todos los mapas de estabilizadores se identifican con el isomorfismo $\mathrm{Im}(A_1 \to A_2) \cong \mathrm{Im}(B_1\to B_2)$ inducido por el cuadrado más a la izquierda del diagrama, y el mapa de conjuntos orbitales se identifica con el isomorfismo $\mathrm{Ker}(A_4 \to A_5) \cong \mathrm{Ker}(B_4 \to B_5)$ inducido por el cuadrado de la derecha.

Desde este punto de vista también está claro que "grupo abeliano" es más estructura de lo necesario. Por ejemplo, el cuadrado de la derecha sólo tiene que darse en la categoría de conjuntos puntuales.