$A_5$ -extensión de campos numéricos no ramificados en todas partes

Question

Estaba tomando el té con un colega inmensamente más talentoso que yo y discutíamos sobre su enseñanza de la teoría algebraica de los números. Me dijo que había dado unos cuantos ejemplos de extensiones abelianas y resolubles sin ramificar en todas partes para que sus alumnos jugaran con ellas y que le había resultado fácil construirlas con la teoría de campos de clases en el fondo. Pero entonces me preguntó si sabía cómo construir una extensión de campos numéricos con grupo de Galois $A_{5}$ y sin ramificaciones en todas partes. Todo lo que pude decir en ese momento (y ahora) es:

1. Hay formas modulares de Hilbert no ramificadas en todas partes.
2. Existen formas modulares de Hilbert cuyo residuo $G_{{F}_{v}}$ -representación mod. $p$ es trivial para todo $v|p$ .
3. Existen formas modulares de Hilbert cuyo residuo $G_{F}$ -representación mod. $p$ tiene imagen $A_{5}$ dentro de $\operatorname{GL}_{2}(\mathbb F_{p})$ .

Supongamos que existe una forma modular de Hilbert que satisface las tres condiciones. Entonces la extensión de Galois a través de la cual su residuo $G_{F}$ -Los factores de representación tendrían el grupo de Galois $A_{5}$ y se desarticulan en todas partes.

¿Se puede hacer que esto funcione?

Independientemente de la validez de este círculo de ideas, ¿se puede construir una extensión de campos numéricos no ramificada en todas partes y con grupo de Galois $A_{5}$ ?

Answer 1

Si se toma el campo de división de $x^5+ax+b$ y considerarlo como una extensión de su subcampo cuadrático, entonces será unramificado con grupo de Galois contenido en $A_5$ siempre que $4a$ y $5b$ son relativamente primos. Esto es el resultado de Yamamoto . Para casi todos los $a$ y $b$ (concretamente, en el complemento de un conjunto delgado ), el grupo es $A_5$ .

También puede disfrutar de esto preimpresión de Kedlaya, que me pareció muy legible. Una nota en la página web de Kedlaya, fechada en mayo de 2003, dice que no lo publicará porque ha sido sustituido por un resultado reciente de Ellenberg y Venkatesh. Supongo que se refiere a este documento pero no puedo entender por qué esa sustituye a la suya.

Answer 2

Este es el ejemplo estándar. Lo encontré en el libro de Lang Teoría algebraica de los números donde lo atribuye a Artin. Dejemos que $K$ sea el campo de división de $X^5-X+1$ en $\mathbb{Q}$ . Entonces $K$ tiene grupo de Galois $S_5$ en $\mathbb{Q}$ et $A_5$ en $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2869})$ . También $K$ no está ramificado sobre $L$ .

Answer 3

Oh, sé cómo intentaría construir ejemplos. Primero escribiría un $A_5$ extensión $K$ de $\mathbf{Q}$ , ramificado en algunos primos (de hecho buscaría en una tabla, por ejemplo en la tesis de Buhler o en la LNM de Frey et al sobre la conjetura de Artin, para encontrar un ejemplo ramificado en un solo primo, probablemente). Entonces trataría de matar esta ramificación haciendo una extensión $L$ de $\mathbf{Q}$ que es disjunta de $K$ globalmente pero exactamente igual que localmente para los primos ramificados (por ejemplo, subiendo a un campo de división de un polinomio que es altamente $p$ -adicalmente congruente con el poli original cuyo campo de división era el $A_5$ campo, para todos los $p$ donde $K$ ramificado). Entonces miraría la extensión $LK/L$ que creo que ahora debería estar totalmente dividido en los primos por encima del primo donde $K/\mathbf{Q}$ ramificado y, por tanto, no ramificado en todas partes. Creo que esto tiene bastantes posibilidades de funcionar, y de hecho convertirse en una máquina general que convierta una extensión de campos numéricos con grupo $G$ en una extensión de campos numéricos no ramificados en todas partes con grupo $G$ . ¿O me he perdido algo? Si no es así, se trata sin duda de una técnica muy conocida.

Answer 4

Aunque la pregunta sólo se refería a la no ramificación $\mathfrak{A}_5$ -extensiones, y ha sido completamente contestada, tal vez no sea superfluo mencionar el siguiente artículo que he encontrado hoy por casualidad:

MR0819826 (87e:11122)

Elstrodt, J.(D-MUNS); Grunewald, F.(D-BONN); Mennicke, J.(D-BLF)

En el caso de que no se haya codificado $A_m$ -extensiones de campos numéricos cuadráticos.

Matemáticas de Glasgow. J. 27 (1985), 31-37.

Se ofrece una descripción explícita de las extensiones no ramificadas $S/k$ con grupo de Galois igual al grupo alterno $A_n$ , donde $k$ es un campo numérico cuadrático. Los autores demuestran que si $f(x)\in {\bf Z}[x]$ es un polinomio irreducible mónico de grado $n$ con discriminante libre de cuadrados y grupo de Galois $S_n$ entonces $S/k$ es un no-ramificado $A_n$ -extensión. Aquí $S$ denota el campo de división para $f(x)$ en ${\bf Q}$ y $k={\bf Q}(\sqrt{\Delta})$ , donde $\Delta$ es el determinante de $f$ . La prueba consiste en una serie de cálculos que muestran que $S/k$ tiene una diferencia relativa de 1.

En la sección final, 84 ejemplos de $A_5$ -de campos cuadráticos. En 15 de los casos el campo cuadrático es real y en 69 casos es imaginario. Esta lista contiene un ejemplo (con campo cuadrático real) debido a E. Artin, que fue mencionado por S. Lang [Algebraic number theory, ver p. 121, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1970].

Revisado por Charles J. Parry

Apéndice (30/03/2011) El preimpreso de Kedlaya mencionado por Speyer ya está disponible en el arXiv . Un corolario es que para cada $n\geq3$ , infinitas cuadráticas campos de números cuadráticos admiten en todas partes un grado no ramificado - $n$ extensiones cuyas normales cierres normales tienen grupo de Galois $\mathfrak{A}_n$ .

Apéndice El artículo de Kedlaya ha aparecido en las Actas de la AMS 140 (2012), 3025--3033