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Prueba $\mathrm{ext}\,(A)=\mathrm{int}\,(X\setminus A)$

Para un subconjunto $A$ del espacio topológico $X$ El exterior de $A$ es el conjunto $\mathrm{ext}\,(A)=X\setminus\mathrm{cl}(A)$ .

Lo que tengo hasta ahora:

$\text{ext}\,(A) = X\setminus \text{cl}(A) = X\setminus (A \cup A') = (X\setminus A) \cap (X\setminus A') $ (Leyes de DeMorgan)

Pero aquí es donde estoy atascado. No estoy seguro de si esta prueba es una simple transformación, o si la estoy enfocando desde un ángulo equivocado.

¿Algún consejo?

2voto

Dachi Imedadze Puntos 6

Desde $\DeclareMathOperator{\Int}{Int}$ $A \subseteq \overline{A}$ tenemos $$X\setminus \overline{A} \subseteq X\setminus A$$ Por lo tanto, $X\setminus \overline{A}$ es un conjunto abierto contenido en $X\setminus A$ por lo que también está contenida en su interior. Por lo tanto, $X\setminus \overline{A} \subseteq \Int(X\setminus A)$ .

Del mismo modo, desde $\Int(X\setminus A) \subseteq X\setminus A$ obtenemos $$A = X \setminus (X \setminus A) \subseteq X \setminus \Int(X\setminus A)$$ Por lo tanto, $X \setminus \Int(X\setminus A)$ es un conjunto cerrado que contiene $A$ por lo que también contiene su cierre:

$$\overline{A} \subseteq X\setminus \Int(X\setminus A)$$

Al complementar, obtenemos $\Int(X\setminus A)\subseteq X\setminus \overline{A}$ .

Por lo tanto:

$$\mathrm{Ext}\,A = X\setminus \overline{A} = \Int(X\setminus A)$$

2voto

Eric Fisher Puntos 306

Siempre que se le pida que demuestre $A=B$ para dos conjuntos $A$ y $B$ , se supone que $x \in A$ y mostrar $x \in B$ . Entonces usted asume $x \in B$ y mostrar $x \in A$

Si $x \in ext(A)$ entonces $x$ está en un conjunto abierto que no interseca $A$ . Por lo tanto, $x$ no está en el cierre de $A$ .

Si $x \in X$ y también $x$ no está en el cierre de $A$ entonces no es un punto límite de $A$ . Por lo tanto, existe un conjunto abierto que contiene $x$ que no se cruza con $A$ . De ahí que esté en el exterior de $A$ .

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