hay una manera mejor a $\int e^{2x} \sin x\, dx$?

Question

Tengo que resolver esto:

$\int e^{2x} \sin x\, dx$

Me las arreglé para hacer algo como esto:

deje $\space u_1 = \sin x \space$ y deje $\space \dfrac{dv}{dx}_1 = e^{2x}$

$\therefore \dfrac{du}{dx}_1 = \cos x \space$ $\space v_1 = \frac{1}{2}e^{2x}$

Si me sustituir estos valores en la ecuación general:

$\int u\dfrac{dv}{dx}dx = uv - \int v \dfrac{du}{dx}dx$

Obtengo:

$\int e^{2x} \sin x dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin x - \frac{1}{2}\int e^{2x}\cos x\, dx$

Ahora que una vez más, hacer de la integración por partes y decir:

deje $u_2 = \cos x$ y deje $\dfrac{dv}{dx}_2 = e^{2x}$

$\therefore \dfrac{du}{dx}_2 = -\sin x$ $v_2 = \frac{1}{2}e^{2x}$

Si yo una vez más, sustituir estos valores en la ecuación general que obtengo:

$\int e^{2x}\sin x dx =\frac{1}{2}e^{2x}\sin x - \frac{1}{4}e^{2x}\cos x - \frac{1}{4}\int e^{2x}\sin x dx$

$\, por tanto \int e^{2x}\sin x dx = \frac{4}{5}(\frac{1}{2}e^{2x}\sin x - \frac{1}{4}e^{2x}\cos x) + C$

$\therefore \int e^{2x}\sin x\, dx = \frac{2}{5}e^{2x}\sin x - \frac{1}{5}e^{2x}\cos x + C$

Me preguntaba si había una mejor y más eficiente manera de resolver esto?

Gracias :)

Answer 1

tenemos

$$\int e^{2x}\sin x \mathrm d x = (A\cos x + B\sin x)e^{2x}$$

La ecuación es la misma en ambos extremos de la derivada $x$

$$e^{2x}\sin x = 2e^{2x} (\cos x +B \sin x) + (B\cos x - \sin x)e^{2x}$$

Acabado $$e^{2x}\sin x =（2B-A)\sin x\,e^{2x} +(2A+B)\cos x\,e^{2x}$$

Comparar el coeficiente，tenemos $$2A+B = 0\\ 2B-A = 1$$ Las soluciones de $$A =-\frac{1}{5} \\ B=\frac{2}{5}$$

Answer 2

$$\begin{align*} \\ \int e^{2x}\sin x dx &= \Im \int e^{2x}(\cos x + i\sin x) dx \\ &= \Im \int e^{(2 + i)x}dx \\ &= \Im \frac{e^{(2 + i)x}}{2+i} + C \\ &= \Im \frac15 e^{2x}(\cos x + i\sin x)(2-i) + C \\ &= \frac15 e^{2x}(2\sin x - \cos x) +C \end{align*}$$

Answer 3

Un método diferente (aunque no es realmente más fácil) es utilizar el hecho de que $\sin x$ puede ser expresado usando exponentes: $$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$

De modo que su integral es: $$\int e^{2x} \sin x\ dx = \int \frac{e^{2x+ix} - e^{2x-ix}}{2i} dx= \frac{e^{2x+ix}}{4ix-2x} - \frac{e^{2x-ix}}{4ix+2x}+C$$ $$=\frac{-1}{10}(2i+1)e^{2x+ix} +\frac{1}{10} (2i-1)e^{2x-ix}+C$$ $$=\frac{2}{5}e^{2x}\sin x-\frac{1}{5}e^{2x}\cos x +C$$