Integral definida como límite de la suma

Question

Evalúa lo siguiente como límite de la suma:

$$\int^b_a{\frac{1}{\sqrt{x}}}dx$$

Podemos escribirlo como

$$\lim_{h \to 0;h>0} h(\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a+h}} + \frac{1}{\sqrt{a+2h}}+...\frac{1}{\sqrt{a+(n-1)h}})$$ donde $h=\frac{b-a}{n}$

No estoy seguro de cómo seguir adelante.

También he intentado ampliar todo el binomio. No me llevó a nada.

Answer 1

Tenga en cuenta que con $a > 0$ ,

$$\underbrace{h\sum_{k=0}^{n-1}\frac{2}{\sqrt{a + kh} + \sqrt{a + (k+1)h}}}_{=2\sum_{k=0}^{n-1}\left(\sqrt{a + (k+1)h} - \sqrt{a + kh}\right)}\leqslant h\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{a + kh}} \\\leqslant \frac{h}{\sqrt{a}}+ \underbrace{ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2}{\sqrt{a + kh} + \sqrt{a + (k-1)h}}}_{=2\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sqrt{a + kh} - \sqrt{a + (k-1)h}\right)}$$

A ver si puedes terminar evaluando las sumas telescópicas en el LHS y el RHS, y luego aplicando el teorema del apretón en la toma de límites como $h \to 0$ .