Prueba del teorema de Taylor: Confusión sobre la validez de dos desigualdades

Question

Mi libro de texto ofrece la siguiente demostración de la versión de una sola variable del teorema de Taylor:

Como prometimos, comenzamos con el Teorema Fundamental del Cálculo, escrito en la forma

$$f(x_0 + h) = f(x_0) + \int_{x_0}^{x_0 + h} f'(\tau) \ d \tau$$

A continuación, escribimos $d \tau = - d(x_0 + h - \tau)$ e integrar las partes para dar

$$f(x_0 + h) = f(x_0) = f'(x_0) h + \int_{x_0}^{x_0 + h} f''(\tau)(x_0 + h - \tau) \ d \tau,$$

que es la fórmula de Taylor de primer orden. Integrando por partes de nuevo, obtenemos

$$\int_{x_0}^{x_0 + h} f''(\tau)(x_0 + h - \tau) \ d\tau = - \dfrac{1}{2} \int_{x_0}^{x_0 + h} f''(\tau) d(x_0 + h - \tau)^2$$

$$= \dfrac{1}{2} f''(x_0) h^2 + \dfrac{1}{2} \int_{x_0}^{x_0 + h} f'''(\tau)(x_0 + h - \tau)^2 \ d \tau,$$

que, cuando se sustituye en la fórmula anterior, da el fórmula de Taylor de segundo orden :

$$f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0) h + \dfrac{1}{2}f''(x_0) h^2 + \dfrac{1}{2} \int_{x_0}^{x_0 + h} f'''(\tau)(x_0 + h - \tau)^2 \ \ d\tau$$

Teorema de Taylor para el $k$ procede por integración repetida por partes. La afirmación (2) de que $\dfrac{R_k(x_0, h)}{h^k} \to 0$ como $h \to 0$ se ve de la siguiente manera. Para $\tau$ en el intervalo $[x_0, x_0 + h]$ tenemos $[x_0 + h - \tau] \le |h|$ y $f^{k + 1} (\tau)$ siendo continua, está acotada; digamos, $\left| f^{k + 1}(\tau) \right| \le M$ . Entonces

$$| R_k(x_0, h) | = \left| \int_{x_0}^{x_0 + h} \dfrac{(x_0 + h - \tau)^k}{k!} f^{k + 1}(\tau) \ d \tau \right| \le \dfrac{|h|^{k + 1}}{k!} M$$

y, en particular, $\left| \dfrac{R_k(x_0, h)}{h^k} \right| \le \dfrac{|h| M}{k!} \to 0$ como $h \to 0$ .

Tengo dos puntos de confusión:

1. ¿Cómo es $| R_k(x_0, h) | = \left| \displaystyle\int_{x_0}^{x_0 + h} \dfrac{(x_0 + h - \tau)^k}{k!} f^{k + 1}(\tau) \ d \tau \right| \le \dfrac{|h|^{k + 1}}{k!} M$ ¿es cierto? Esto no está claro para mí. Por ejemplo, se afirma que $[x_0 + h - \tau] \le |h|$ y $\left| f^{k + 1}(\tau) \right| \le M$ ; bien. Pero sigo sin ver cómo esto hace que la desigualdad anterior sea cierta.

2. Por extensión, ¿cómo es $\left| \dfrac{R_k(x_0, h)}{h^k} \right| \le \dfrac{|h| M}{k!} \to 0$ como $h \to 0$ ¿es cierto? Esto tampoco me queda claro.

Agradecería mucho que la gente se tomara la molestia de explicar esto.

Answer 1

Si $a \lt b$ y sabemos que para una función medible $g$ definido en $(a,b)$ tenemos $x \in (a,b) \to |g(x)| \le M$ entonces se deduce que $$ \bigg|\int_a^b g(x) dx \bigg| \le (b - a)M $$

en su ejemplo $b - a = h$ y $|x_0 + h - \tau|^k \le |h|^k$ . Junto con $\left| f^{k + 1}(\tau) \right| \le M$ estos valores dan el límite requerido en la integral