¿Por qué el círculo unitario no es homeomorfo al disco unitario cerrado?

Question

Sé que el círculo unitario = $\{(x,y): x^2+y^2 =1\}$ no es homeomorfo al disco unitario cerrado = $\{(x,y): x^2+y^2 \leq 1\}$ pero no estoy seguro de cómo probarlo. He intentado con argumentos con puntos de corte y con (camino)conectividad, pero aún no consigo un buen argumento. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Si se eliminan dos puntos del círculo, éste queda desconectado.

El disco, por el contrario, sigue conectado después de esa retirada. Para ver esto último, observe que hay infinitos caminos disjuntos (aparte de los extremos) entre dos puntos cualesquiera del disco, y la eliminación de un número finito de puntos sólo puede destruir un número finito de ellos.

Answer 2

El disco de la unidad $B=\{x^2+y^2\leq1\}$ tiene grupo fundamental $\pi_1(B)=\{0\}$ mientras que el círculo $S^1=\{x^2+y^2=1\}$ tiene grupo fundamental $\pi_1(S^1)=\Bbb Z$ . Y una condición necesaria para que dos espacios topológicos sean homeomorfos es que tengan el mismo grupo fundamental (o mejor grupos isomorfos).

Answer 3

Toda cubierta abierta del círculo tiene un refinamiento tal que la intersección de tres conjuntos distintos cualesquiera está vacía. Pero hay una cubierta abierta del disco que no admite tal refinamiento: