Ecuación de la gravedad newtoniana en un mundo bidimensional

Question

Me pregunto si mi línea de pensamiento es correcta - y por lo tanto la respuesta resultante al problema anterior sería correcta.

Como sabemos la fuerza gravitacional (de dos masas puntuales) viene dada por $$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}.$$

Así que la fuerza gravitacional/campo vectorial se reduce con la distancia al cuadrado. Ahora bien, esta es la fórmula en 3 dimensiones espaciales - y yo siempre me lo imagino como un punto con líneas de campo gravitatorio que se mueven hacia fuera. Entonces la "fuerza" del campo sería la densidad de las líneas. Y por tanto la densidad disminuye con la distancia al cuadrado (ya que es inversamente proporcional al área de la esfera a esa distancia).

Llevando esta línea de pensamiento a otras situaciones podemos pensar, por supuesto, en un hipotético mundo bidimensional. Aquí también habría gravedad. Y aquí también podemos ver la densidad de las "líneas del campo gravitatorio". Sin embargo como se propagan sólo en 2 dimensiones espaciales la densidad sería inversamente proporcional a la circunferencia del círculo a una distancia $r$ . Y por lo tanto la fórmula perdería el cuadrado y pasaría a ser como:

$$F = G\frac{m_1m_2}{r}$$

(Con el cambio $G$ y obviamente no podemos hablar de masa en 2d).

¿Es correcta esta línea de pensamiento?

Answer 1

Sí, esto es correcto. Formalmente, se podría escribir para los círculos alrededor de la masa puntual $C_1$ y $C_2$ : $$\int_{C_1}\vec F\left(r_1\right)\cdot \mbox{d}\vec s=\int_{C_2}\vec F\left(r_2\right)\cdot\mbox{d}\vec s$$

Por simetría rotacional, esto se puede escribir como:

$$2\pi r_1 F_1=2\pi r_2 F_2 \Rightarrow F_2r_2=F_1r_1$$

Véase también.

Answer 2

Nunca podrás saber si tu línea de pensamiento es correcta o no porque has hecho una pregunta no científica.En la ciencia la prueba de todas las ideas es el experimento y nunca podrás realizar un experimento en tu hipotético mundo bidimensional.