Probar que el operador es sobreyectivo

Question

Dejemos que $T\colon \ell_1\to c_0^*$ sea un operador, tal que $$(Ta)(x)=\sum_{j=1}^\infty \alpha_j\xi_j$$ y $a=(\alpha_j)_{j=1}^\infty \in \ell_1$ , $x=(\xi_j)_{j=1}^\infty\in c_0$ . Quiero demostrar que $T$ es suryente. ¿Alguna idea sobre cómo abordar esta prueba?

Answer 1

Dejemos que $\varphi \in c_0^{*}$ sea una función lineal sobre $c_0$ . Quieres encontrar $a \in \ell_1$ tal que $T(a) = \varphi$ . Si denotamos por $e_i$ la secuencia que tiene $1$ en el $i$ y cero en el resto, entonces deberíamos tener

$$ \varphi(e_i) = T(a)(e_i) = \alpha_i. $$

Invirtiendo el razonamiento anterior, dado $\varphi$ definan la secuencia $a = (\alpha_j)_{j=1}^{\infty}$ por $\alpha_j = \varphi(e_j)$ y demostrar que $a \in \ell_1$ . Dado que ambos $T(a)$ y $\varphi$ son continuas y coinciden por construcción en el conjunto $\{e_i\}_{i=1}^{\infty}$ cuya extensión es densa en $c_0$ deben estar de acuerdo en $c_0$ y así $T(a) = \varphi$ .