El contenido de los términos de referencia de los módulos de

Question

Estoy interesado en conocer una descripción concreta de cuáles son los elementos de los términos de referencia de los módulos de $\mathrm{Tor}^i_R(M,N)$ "son". Tal y como está no tengo la intuición, por ejemplo, las correspondencias entre los términos de referencia de los módulos inducida por functoriality.

Tengo un par de tubería de sueños, uno de ellos es tener una descripción en el mismo sentido, como la conocida descripción de Ext en términos de extensiones (y la Baer suma). Otra es tener una descripción en casos especiales, por ejemplo, $\mathrm{Tor}^i(R/I,M)$ sobre un anillo local $R$. (¿hay algo a lo largo de las líneas de la descripción de $\mathrm{Ext}$ en términos de regular las secuencias?)

Por supuesto, hay un puñado de niza casos, como en el $\mathrm{Tor}^1(R/I,R/J) = I \cap J / IJ$ $\mathrm{Tor}^1(R/I,M) = I \otimes M$ al $I \subseteq \mathrm{Ann}(M)$. O, de un modo bastante similar, si

$$0 \to K \to F \to M \to 0$$

es una breve secuencia exacta con $F = R^n$ un módulo, a continuación,$\mathrm{Tor}^1(R/I,M) = (K \cap IF)/IK$. Así que esto le da un semi-descripción concreta como "$I$-lineal de las relaciones entre los generadores modulo $I$-múltiplos de relaciones" o algo así.

También voy a aceptar explicaciones de por qué tal descripción no parece existir, o por qué lo mejor que podemos hacer es tratar de comprender las cosas en términos de libertad de resoluciones y "generadores y relaciones, y las relaciones entre las relaciones...".

Answer 1

Creo que en general esto es difícil, tal vez porque se puede definir $Tor$ sin siquiera decir la palabra elemento! Parte de la belleza de la cosa es que $Tor_1$ puede ser un obstáculo para la conservación de muchas construcciones (todos aquellos que se construye fuera de secuencias de granos, cokernels, directa sumas y productos directos). Pero usted puede venir para arriba con muchas interpretaciones físicas de esta manera.

Por ejemplo: digamos que estoy en $k[x,y]$ y quiero cruzan $I =(x^2, xy)$$J = (3x +5, y)$. Es la intersección de estos dos ideales de primera y que se extiende a $k[x,y,z]$ el mismo que $I (k[x,y,z]) \cap J (k[x,y,z])$. Sí, y probablemente se podría probar directamente para cualquier $I,J$. Pero también podría derecha abajo de esta construcción en términos de los núcleos y cokernels-- y, a continuación, simplemente invocar el hecho de que $k[x,y,z]$ es plano sobre a $k[x,y]$. No hay ninguna razón para hacerlo de una manera categórica en este caso-pero ¿qué pasa si usted toma $k[x,y]/(x^2-y)$ en lugar de $k[x,y,z]$? ¿Cuán lejos está ahora por la intersección antes de extender en lugar de después? La respuesta es aproximadamente el tamaño de un par de Tor$_1$'s".

Este tipo de hojas de la mayor Tor es un misterio. Como anomalía aludido, cuando estás trabajando a través de un local o graduada anillo de $R$ con residuos de campo $k$, no hay una única libre mínima de resolución de $F_i$ de cualquier módulo de $M$ (esencialmente porque de Nakayama del lema). A continuación,$Tor_i(k, M) = k \otimes F_i$, por lo que Tor en realidad es sólo una secuencia de espacios vectoriales de la misma fila de la resolución.

Para ver por qué esto puede ser ordenada en más geométrica de configuración: tome $R = k[x,y,z]$ pensamiento de como la homogeneidad de las coordenadas anillo de $\mathbb P^2$. Estamos considerando graduales de los módulos a través de este anillo, y, en consecuencia, $Tor_i(M,k)$ es graduado espacio vectorial. Deje $X$ ser un conjunto de seis puntos en $\mathbb P^2$. A veces, todos los puntos se acostará sobre una cónica, pero generalmente no. Y a través de un libre mínima resolución, podemos comprobar si es o no es cierto en términos de la clasificación en $Tor_1(R/I_X, k)$: Si el grado de la parte 2 es distinto de cero, entonces, sí, y de lo contrario, no. Además, si el grado de dos partes es de dos dimensiones, a continuación, un completo lápiz de cónicas contiene $X$. Esto es un poco redundante (sólo estamos considerando el grado de la mínima generadores de $I_X$). Para $Tor_2(R/I_X, k)$ estamos jugando a las "relaciones entre relaciones" juego de nuevo, pero aún así es bastante físico: decir que $X$ milagrosamente se encuentra en $2$ cónicas $\mathbb V(f_1), \mathbb V(f_2)$. Luego hay lineal formas $l_1, l_2$ tal que $l_1 f_1 = l_2 f_2$? Podríamos esperar que no, que esta mucho como suponiendo que el cónicas comparten un factor común, pero esto no es así para ciertos puntos . De todos modos, usted puede detectar si la cónicos están cerca en este sentido por el grado $3$ componente de $Tor_2(R/I_X, k)$, y así sucesivamente. Pasando como este, nada que ver con los números de betti en el libre mínima resolución se traduce en una declaración acerca de los términos de referencia.

Sería genial tener una mejor interpretación de casos especiales como estos, pero no sé nada bueno.

Answer 2

Yo realmente no soy un experto aquí, pero supongo que la Serre intersección de la fórmula indica que el Tor functors resp. su alternancia de longitudes que nos permita traer a dos subvariedades en posición general en lugar de tomar sólo los ingenuos intersección de la fórmula. En el lenguaje de los derivados de la geometría algebraica la fórmula se simplifica mucho (MO/12236) y se indica que Tor functors son sólo relictos del pasado en el que el tensor de productos no fueron derivados y uno tuvo que lidiar con la no exactitud del producto tensor.