Preguntas sobre Gödel, sistemas formales, cálculo proposicional y lógica de primer orden.

Question

He estado leyendo el libro de Hofstadter Gödel, Escher, Bach: una eterna trenza de oro y me encanta, aunque hay algunas cosas que aún no entiendo del todo.

El Cálculo Proposicional es un sistema formal, y puesto que está incrustado en la Teoría Tipográfica de los Números (TNT), parece que la TNT es un sistema formal hecho de otros sistemas formales. Pero la TNT incorpora más símbolos que los del CP, entre ellos se encuentra el cuantificador universal $\forall$ y el cuantificador existencial $\exists$ y algunas reglas de inferencia adicionales.

Mis preguntas son:

1. ¿Es así como la lógica de primer orden está "dentro" de la TNT? ¿Está la lógica de primer orden dentro de la TNT en absoluto, o es algún "meta-sistema" utilizado para hablar de la TNT? ¿O la TNT y la lógica de primer orden forman juntas una teoría de primer orden?

2. Las fórmulas bien formadas de un sistema formal no son verdaderas o falsas per se, sino que es necesario que haya una interpretación significativa de los símbolos para que las fórmulas bien formadas adquieran significado (y, por tanto, valor de verdad). Así, cualquier sistema formal capaz de describir la teoría de los números puede recibir una intepretación, de modo que los teoremas del sistema resulten verdaderos cuando se interpretan. Mi pregunta es: ¿cuál es la teoría de números "real"? ¿cómo comparamos los teoremas de los sistemas que representan la teoría de números con la realidad, para ver efectivamente si son afirmaciones verdaderas sobre la teoría de números?

Soy bastante nuevo en el tema, así que se agradece la paciencia.

Answer 1

El "sistema" $\mathsf {TNT}$ de Teoría tipográfica de los números es "nada especial"; podemos tener varios Sistemas formales lo que cuenta es su "capacidad expresiva".

Cálculo proposicional tiene una capacidad expresiva muy limitada, pero es muy útil por razones pedagógicas, ya que con ella es posible mostrar el concepto básico y las propiedades de los sistemas formales: sintaxis, semántica, consistencia, completitud, etc.

Lógica de primer orden es mucho más "útil" porque con ella podemos formalizar muchas (gran parte de) las teorías matemáticas, como teoría de conjuntos y aritmética .

La lógica de primer orden (FOL) está "hecha" de un lenguaje (el llamado lenguaje f-o) con los cuantificadores : $\forall$ y $\exists$ reglas de inferencia : modus ponens , generalización y (cero o más) axiomas lógicos.

Una teoría de primer orden se "genera" a partir de FOL añadiendo axiomas "específicos" (no lógicos) : véase $\mathsf {PA}$ para (primer orden) Aritmética de Peano ou $\mathsf {ZF}$ para Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .

Sistema $\mathsf {TNT}$ es un subsistema de La aritmética de Robinson $\mathsf {Q}$ que a su vez es un subsistema de $\mathsf {PA}$ .

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Por lo tanto, a su primera pregunta :

¿es así como la lógica de primer orden está "dentro" de la TNT? ¿está la primera lógica dentro de la TNT en absoluto, o es algún "meta-sistema" utilizado para hablar de la TNT?

Sí, $\mathsf {TNT}$ es una teoría de primer orden, y por tanto FOL está "dentro" de ella.

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Su segunda pregunta :

¿qué es la teoría de los números "real"? ¿cómo comparamos los teoremas de los sistemas que representan la teoría de los números con la realidad, para ver efectivamente si son afirmaciones verdaderas sobre la teoría de los números?

es más espinoso. Verdadero para una fórmula de un sistema formal significa exactamente : verdadero en un interpretación .

Así, la misma fórmula resulta verdadero en alguna interpretación y falso en otro.

Aritmética es un bloque de construcción muy, muy básico de nuestro conocimiento matemático (y no sólo) : tenemos un innato ?) la comprensión de cuáles son los verdaderos "hechos" sobre los números, y de sus propiedades, como $0 \ne 1, 1+1=2, \ldots$ .

Así, nuestra expectativa respecto a cualquier sistema formal "razonable" para la aritmética es que pueda derivar (es decir, demostrar) todos los hechos conocidos de la aritmética "natural" y nada que los contradiga.

Este conjunto "natural" de hechos aritméticos es lo que los matemáticos llaman : "el modelo estándar" de la aritmética formal : $\mathbb N$ .