Mirando el intervalo de los números naturales $ [1, p_{n}$ # $] $ ;
$\frac{1}{2}$ de los elementos de este conjunto serán pares, y $\frac{1}{2}$ será impar. $\frac{1}{3}$ de los elementos de este conjunto serán múltiplos de 3, y $\frac{2}{3}$ no ( $:n>1$ ) ... $\frac{1}{p_{n}}$ de los elementos serán múltiplos de $p_{n}$ y $\frac{p_{n}-1}{p_{n}}$ no lo hará.
La proporción de elementos de este conjunto que no son múltiplos de ningún primo hasta $p_{n}$ será: $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times ... \times \frac{p_{n}-1}{p_{n}}$ ( $:n>2$ ), asumiendo la independencia de estas proporciones (¿cierto?). Esto es lo mismo que la expresión $ 1 \times \frac{2}{2} \times \frac{4}{3} \times ... \times \frac{p_{n}-1}{p_{n-1}} \times \frac{1}{p_{n}} $ (: $n>4$ ), que porque $ p_{n}-1 \geq p_{n-1} $ debe ser mayor que $\frac{1}{p_{n}} $ .
es decir, al menos $\frac{1}{p_{n}} $ de elementos del conjunto $ [1, p_{n}$ # $] $ no son múltiplos de ningún número primo hasta $p_{n}$ .
Así que pregunto, bajo qué condiciones se mantendrá esta proporción, que al menos $\frac{1}{p_{n}}$ los elementos no son divisibles por números primos hasta $p_{n}$ dentro de un intervalo contenido por $ [1, p_{n}$ # $] $ ?
Al principio pensé que si el tamaño del intervalo era un múltiplo de $p_{n}$ que es menor o igual que $p_{n}$ #, esto sería suficiente, pero sé que no es cierto.
Sin embargo, parece cierto que si el mayor término de este intervalo es un múltiplo de $p_{n}$ (debe ser $\leq p_{n}$ #), siempre que el tamaño del conjunto sea también un múltiplo de $p_{n}$ (puede ser diferente pero también debe ser $\leq p_{n}$ #).
¿Es sólo una coincidencia o hay alguna razón detrás de esto?
Ejemplos:
1. $p_{2}=3$
El número primitivo $p_{2}$ # $ = 2\times 3 = 6$
En el intervalo [1,6], la mitad de los miembros son números pares, la mitad de los miembros son Impares, un tercio de los miembros son múltiplos de 3 y dos tercios de los miembros no son múltiplos de 3.
Por lo tanto, al menos un tercio de los miembros no son divisibles por 2 o 3.
Del mismo modo, en los intervalos [1,3] y [4,6], al menos un tercio de sus miembros no son divisibles por 2 o 3. ¿Es sólo una coincidencia o hay alguna razón para ello? ¿Puedes derivar las condiciones para que un intervalo tenga al menos un tercio de sus miembros no divisibles por 2 ó 3, con respecto al intervalo [1,6]?
Lo pregunto porque en el intervalo [2,4], la proporción de miembros que no son divisibles por 2 o 3, no es al menos un tercio.
2. $p_{3}=5$
El número primitivo $p_{3}$ # $ = 2\times 3 \times 5= 30$
En el intervalo [1,30], la mitad de los miembros son números pares, la mitad de los miembros son Impares, un tercio de los miembros son múltiplos de 3, y dos tercios de los miembros no son múltiplos de 3, un quinto de los miembros son múltiplos de 5, y cuatro quintos de los miembros no son múltiplos de 5.
Por lo tanto, al menos una quinta parte de los miembros no son divisibles por 2 o 3 o 5.
Del mismo modo, en los intervalos [1,5], [6,10], [11,15], [16,20], [21,25], [26,30], [1,10], [11,20], [21,30], [6,15], [16,25], [1,15], [16,30], [1,20], [11,30], al menos una quinta parte de sus miembros no es divisible por 2 ó 3 ó 5. ¿La similitud de proporciones entre éstos y el intervalo [1,30] es una mera coincidencia o hay alguna razón para ello?
(En el intervalo [24,28], la proporción de miembros que no son divisibles por 2 ó 3 ó 5, no es al menos una quinta parte).
