Demostrar la convergencia débil de una secuencia de variables aleatorias discretas

Question

Gente, no tengo ni idea de cómo empezar a probar la convergencia débil. Conozco la definición de que el límite de la distribución de $X_n$ debe ser igual a la distribución de $X$ . PERO ni idea de cómo probarlo. Creo que debería haber alguna pista con la suma.

Así que tenemos: $P(X_n=i/n)=1/n$ para $i=1,\ldots,n$ y necesito mostrar esto: $X_n \rightsquigarrow X$ .

Creo que es obvio que si por ejemplo $$\begin{align*}m P(X_n \leq 5/10) &= P(X_n = 1/10) + P(X_n = 2/10) + P(X_n = 3/10) \\ &\quad + P(X_n = 4/10) + P(X_n = 5/10) \\ &= 5/10, \end{align*}$$ y $P(X\leq 5/10) = 5/10$ para $X$ distribuido uniformemente de $0$ a $1$ .

Así que sus funciones de distribución coinciden en $x=5/10$ y están de acuerdo con cualquier valor que yo elija. Pero, en principio, ¿por qué este ejemplo dice que tenemos una convergencia débil? ¿Por qué la convergencia fuerte aquí no funciona?

Imagen para $X_{2n}(x)$ y $X_{2n+1}(x)$ : No puedo ver cómo ambas secuencias convergen a valores diferentes. Pero el valor de la función de distribución es igual a 1 si tomamos x=1. ¿Estoy en lo cierto? Esto es lo que concluyo de la imagen:

Answer 1

La función de distribución $F_n := \mathbb{P}(X_n \leq x)$ es igual a

$$F_n(x) = \begin{cases} 0, & x < \frac{1}{n}, \\ \frac{1}{n}, & x \in \big[\frac{1}{n},\frac{2}{n} \big) \\ \frac{2}{n}, & x \in \big[ \frac{2}{n}, \frac{3}{n} \big) \\ \vdots & \\ 1, & x \geq 1. \end{cases}$$

Dejar $n \to \infty$ muestra $$F_n(x) \to \begin{cases} 0, & x < 0, \\ x, & x \in [0,1] \\ 1 & x>1 \end{cases}$$ Dado que el lado derecho es la función de distribución de un $U[0,1]$ -distribuidas, esto finaliza la prueba.

Para ver que la convergencia puntual no se cumple en general, considere la siguiente secuencia de variables aleatorias sobre $[0,1]$ (dotado de la medida de Lebesgue)

$$X_{2n}(x) := \begin{cases} \frac{1}{n}, & x \in \big[0,\frac{1}{n} \big) \\ \frac{2}{n}, & x \in \big[ \frac{1}{n}, \frac{2}{n} \big) \\ \vdots & \\ 1, & x \in \big[ \frac{n-1}{n}, 1 \big]. \end{cases}$$

y

$$X_{2n+1}(x) := \begin{cases} 1, & x \in \big[0,\frac{1}{n} \big) \\ 1- \frac{1}{n}, & x \in \big[ \frac{1}{n}, \frac{2}{n} \big) \\ \vdots & \\ \frac{1}{n}, & x \in \big[ \frac{n-1}{n}, 1 \big). \end{cases} $$

Entonces $X_n \sim F_n$ pero $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ no converge puntualmente.