cómo encontrar $ \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 +1} +\sqrt{4x^2 + 1} - \sqrt{9x^2 + 1}\right)$

Question

¿Cómo puedo encontrar esto?

$ \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 +1} +\sqrt{4x^2 + 1} - \sqrt{9x^2 + 1}\right)$

Answer 1

$ \lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 +1} +\sqrt{4x^2 + 1} - \sqrt{9x^2 + 1}\right) =\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 +1}-x +\sqrt{4x^2 + 1}-2x - (\sqrt{9x^2 + 1}-3x)\right) = $ $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{x^2 +1}+x}+\lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{4x^2 + 1}+2x} -\lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{9x^2 + 1}+3x} = 0 + 0 + 0 = 0$

Answer 2

Aquí hay otra táctica. Si $a > 0$ , $${\sqrt{a^2 x^2 + 1} - ax } = {1\over{\sqrt{a^2 x^2 + 1} + ax }}= O\left ({1\over x}\right). $$

Answer 3

Ya que para cualquier $A>0$ $$\sqrt{A^2 x^2+1}-A|x| = \frac{1}{A|x|+\sqrt{A^2 x^2+1}}<\frac{1}{2A|x|}$$ se mantiene, tenemos: $$\left|\sqrt{x^2+1}+\sqrt{4x^2+1}-\sqrt{9x^2+1}\right|=\left|\sqrt{x^2+1}-|x|+\sqrt{4x^2+1}-2|x|-\sqrt{9x^2+1}+3|x|\right|\leq \left|\sqrt{x^2+1}-|x|\right|+\left|\sqrt{4x^2+1}-2|x|\right|+\left|\sqrt{9x^2+1}-3|x|\right|<\frac{1}{|x|}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right),$$ por lo que el límite es $0$ .

Answer 4

Un resultado heurístico:

Tenga en cuenta que $x$ ~ $\sqrt{x^2 + 1}$ como $x \to \infty$ y resultados similares son válidos para los demás términos. Por lo tanto, se ve que el límite es cero.

Para que el resultado sea más riguroso, observa lo que ocurre cuando expandes el resultado de la respuesta de Elías utilizando la serie binomial.