Norma de Frobenius y relación con los valores propios

Question

He estado trabajando en este problema, y creo que casi tengo la solución, pero no estoy del todo.

Supongamos que $A \in M_n(\mathbb C)$ tiene $n$ valores propios distintos $\lambda_1... \lambda_n$ . Demostrar que $$\sqrt{\sum _{j=1}^{n} \left | {\lambda_j} \right |^2 } \leq \left \| A \right \|_F\,.$$

He intentado utilizar la descomposición de Schur de $A$ y consiguió que $\left \| A \right \|_F = \sqrt{TT^*}$ , donde $A=QTQ^*$ con $Q$ unitario y $T$ triangular, pero no estoy seguro de cómo relacionar esto con los valores propios y de dónde viene la desigualdad.

Answer 1

Estás en el camino correcto. El correspondiente Schur la descomposición es $A = Q U Q^*$ , donde $Q$ es unitaria y $U$ es una matriz triangular superior, cuya diagonal corresponde al conjunto de valores propios de $A$ (porque $A$ y $U$ son similares). Ahora bien, como la norma de Frobenius es invariante bajo la multiplicación matricial unitaria:

$$||QA||_F = \sqrt{\text{tr}((QA)^*(QA))} = \sqrt{\text{tr}(A^*Q^* QA)} = \sqrt{\text{tr}(A^*A)} = ||A||_F$$

(lo mismo ocurre con la multiplicación de $Q$ a la derecha) entonces podríamos escribir: $$||A||_F = ||Q U Q^*||_F = ||U||_F \rightarrow \sqrt{\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2} \leq ||A||_F$$

demuestra directamente su afirmación.

Nota: La desigualdad proviene de la definición de la norma de Frobenius: La suma del cuadrado de todo entradas de la matriz. Dado que $U$ contiene los valores propios en su diagonal, el término de la izquierda tiene que ser menor o igual que la suma sobre todas las entradas, porque $U$ podría tener entradas no nulas sobre su diagonal.