Para encontrar la inversa de un operador lineal

Question

Dejemos que $A:C[0,1]\rightarrow C[0,1]$ sea un operador lineal definido por $Ax(t)=x(t)+t\int_0^t sx(s)\,ds$ . No es difícil demostrar que $A$ es continua con respecto a la norma $\|\cdot\|$ en $C[0,1]$ definido por $\|f\|=\sup_{t\in [0,1]}|f(t)|$ .

El problema: Demostrar que el operador $A$ es invertible y encontrar $A^{-1}$ .

Para demostrar que $A$ es invertible, empiezo con $Ax=0$ para algunos $x\in C[0,1]$ . Entonces, $x(t)+t\int_0^tsx(s)\,ds=0$ . Diferenciando esto dos veces obtuve $\ddot{x}(t)+t^2\dot{x}(t)+3tx=0$ , donde $x(0)=\dot{x}(0)=0$ . Pero no sé cómo resolver esta ecuación diferencial. Así que me he quedado atascado aquí y no he podido seguir adelante. Gracias de antemano por cualquier ayuda o sugerencia.

Answer 1

Elija $b(t)\in C[0,1]$ de forma arbitraria. Queremos encontrar $x(t)\in C[0,1]$ tal que $$(Ax)(t)=x(t)+t\int_0^tsx(s)\mathrm{d}s=b(t)$$ Set $w(t)=\int_0^tsx(s)\mathrm{d}s$ y nota $w$ es diferenciable. La ecuación anterior se convierte ahora en una PIV $$\frac{dw}{dt}+t^2w=tb(t)$$ $$w(0)=0$$ La solución particular de este PIV es $$w(t)=e^{-t^3/3}\int_0^tse^{s^3/3}b(s)\mathrm{d}s$$ Esto implica $$x(t)=b(t)-te^{-t^3/3}\int_0^tse^{s^3/3}b(s)\mathrm{d}s$$ que es una buena fórmula para $(A^{-1}b)(t)$ .

Answer 2

Consideremos un operador diferente en $C[0,1]$ por ahora $$T=t \int_0^tsx(s)ds$$ y calcular la norma del operador $\|T\|=\sup_{\|x\|_\infty=1}\|Tx\|_\infty$ .

Nota: Estoy utilizando $\|\cdot \|_\infty$ para denotar la norma de supremacía que has utilizado en tu declaración, quiero distinguirla de la norma del operador.

$$\|T\|=\sup_{\|x\|_\infty=1}\Big\|t \int_0^t sx(s)ds \Big\|_\infty\leq \sup_{\|x\|_\infty=1} \Big\|t\int_0^t s\|x\|_\infty ds\Big\|_\infty=\big\|\frac{t^3}{2}\big\|_\infty=\frac{1}{2}$$ Esto nos dice que la serie $\sum_{k=0}^\infty \|T\|^k$ converge y por lo tanto hay series $\sum_{k=0}^\infty T^k$ converge uniformemente a $(1-T)^{-1}$ en la topología de la norma del operador. Así, hemos demostrado que el operador $1-T$ es invertible. Ahora vemos que podemos escribir $A=1+T$ y así vemos que $1-(A-1)=-A$ es invertible y por lo tanto $A$ es invertible con la inversa dada por $-\sum_{k=0}^\infty T^k$