Lo que te dan se llama un espacio discreto $(X,d)$ ; donde $d(x,y)=[x=y]$ ( $[P]=1$ si $P$ es cierto, $0$ en caso contrario) se denomina métrica discreta. Obsérvese el conjunto $X$ se supone que es infinito . Por ejemplo, puede ser $\Bbb N$ , $\Bbb R$ .
Se puede ver que todo singleton es un conjunto abierto, ya que $\{x\}=B(x,1/2)$ digamos. ¿Qué se puede decir de los conjuntos compactos en $X$ ¿Entonces? Es $X$ ¿compacto? Sugerencia Nota $X$ pueden ser cubiertos por los singletons.
Spoilers
$(1)$ $X$ es cerrado, siendo el espacio ambiental. Está acotado: $X\subset B(x,r)$ para cualquier $x\in X$ siempre que $r\geq 1$ .
$(2)$ Supongamos que $F\subseteq X$ es compacto. Entonces $F$ es finito. Razón : portada $F$ por los solteros. La existencia de una cobertura finita implica $F$ es en sí mismo finito.
$(3)$ Supongamos que $F\subseteq X$ es finito. Entonces $F$ es compacto. Razón : Supongamos que $\mathscr C=\{C_\alpha\}_{\alpha\in A}$ cubre $A$ . Escriba $F=\{x_1,\ldots,x_m\}$ . Desde $F\subseteq \bigcup \mathscr C$ debe existir para cada $i=1,2,\ldots,m$ un índice $\alpha_{i}$ tal que $x_i\in C_{\alpha_i}$ Así que $\mathscr C_0=\{C_{\alpha_i}:i=1,\ldots,m\}$ es una subcubierta finita.
Conclusión: $F\subseteq X$ es compacto si y sólo si es finito. Nótese que $(3)$ se mantiene siempre en cualquier espacio (topológico, métrico), mientras que $(2)$ ciertamente no lo hace: $[a,b]$ es compacto en $\Bbb R$ con la métrica habitual.