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Encontrar un espacio métrico X y un subconjunto K de X que sea cerrado y acotado pero no compacto.

Encontrar un espacio métrico $X$ y un subconjunto $K$ de $X$ que es cerrado y acotado pero no compacto.

Puedo encontrar un espacio métrico $X$ como el siguiente.

Dejemos que $X$ sea un conjunto infinito. Para $p,q\in X$ , defina $d(p,q)=\begin{cases}1,&\text{if $p\ne q$}\\0,&\text{if $p=q$}\end{cases}$

Entonces, con el espacio métrico anterior, puedo encontrar un subconjunto $K$ de $X$ que es una bola cuyo centro es $x$ y el radio es $1$ . Sé que es cerrado (ya que no tiene puntos límite) y acotado.

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(Estoy confundido de nuevo... Creo que $X$ no es un conjunto infinito. ¿No es el triángulo anterior el espacio métrico $X$ ?)

Se agradece mucho la ayuda.

Gracias.

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DiGi Puntos 1925

CONSEJO: Deja que $\langle X,d\rangle$ sea el espacio métrico que ha descrito en el problema. Para cualquier $x\in X$ , el balón abierto $B(x,1)=\{y\in X:d(x,y)<1\}=\{x\}$ es compacto: es sólo el conjunto singleton $\{x\}$ . Sin embargo, el cerrado bola $\overline{B}(x,1)=\{y\in X:d(x,y)\le 1\}$ es muy diferente: $\overline{B}(x,1)=X$ para cada uno $x\in X$ . (¿Por qué?) Esto demuestra que $X$ es un conjunto cerrado y acotado en $X$

Considere $\{B(x,1):x\in X\}$ . Se trata de una portada abierta de $X$ . ¿Tiene una subcubierta finita? ¿Es $X$ ¿compacto?

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Vijay Saradhi Puntos 6

Sugerencia: Simplemente deje que $X = K$ . Argumentar por qué $X$ no es compacto.

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Sergey Melikhov Puntos 4077

Si $X$ es un espacio de Banach de dimensión infinita (sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , en cualquier sentido) entonces la bola unitaria (cerrada) $B_1(X)$ es cerrado y acotado pero no compacto en la topología de la norma. Véase, por ejemplo http://planetmath.org/compactnessofclosedunitballinnormedspaces para una prueba de este hecho.

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Oli Puntos 89

Toma los reales, cambia la métrica a $d(x,y)=\min(|x-y|,1)$ . La topología no cambia, por lo que su favorito cerrado pero no compacto sigue siendo cerrado, no compacto, pero ahora está acotado.

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Pedro Tamaroff Puntos 73748

Lo que te dan se llama un espacio discreto $(X,d)$ ; donde $d(x,y)=[x=y]$ ( $[P]=1$ si $P$ es cierto, $0$ en caso contrario) se denomina métrica discreta. Obsérvese el conjunto $X$ se supone que es infinito . Por ejemplo, puede ser $\Bbb N$ , $\Bbb R$ .

Se puede ver que todo singleton es un conjunto abierto, ya que $\{x\}=B(x,1/2)$ digamos. ¿Qué se puede decir de los conjuntos compactos en $X$ ¿Entonces? Es $X$ ¿compacto? Sugerencia Nota $X$ pueden ser cubiertos por los singletons.

Spoilers

$(1)$ $X$ es cerrado, siendo el espacio ambiental. Está acotado: $X\subset B(x,r)$ para cualquier $x\in X$ siempre que $r\geq 1$ .

$(2)$ Supongamos que $F\subseteq X$ es compacto. Entonces $F$ es finito. Razón : portada $F$ por los solteros. La existencia de una cobertura finita implica $F$ es en sí mismo finito.

$(3)$ Supongamos que $F\subseteq X$ es finito. Entonces $F$ es compacto. Razón : Supongamos que $\mathscr C=\{C_\alpha\}_{\alpha\in A}$ cubre $A$ . Escriba $F=\{x_1,\ldots,x_m\}$ . Desde $F\subseteq \bigcup \mathscr C$ debe existir para cada $i=1,2,\ldots,m$ un índice $\alpha_{i}$ tal que $x_i\in C_{\alpha_i}$ Así que $\mathscr C_0=\{C_{\alpha_i}:i=1,\ldots,m\}$ es una subcubierta finita.

Conclusión: $F\subseteq X$ es compacto si y sólo si es finito. Nótese que $(3)$ se mantiene siempre en cualquier espacio (topológico, métrico), mientras que $(2)$ ciertamente no lo hace: $[a,b]$ es compacto en $\Bbb R$ con la métrica habitual.

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