Encuentre $q$ tal que $[q[qn]]+1=[q^2n]$ para $n=1,2,\dotsc$

Question

Encuentre $q>0$ tal que $$[q[qn]]+1=[q^2n],\qquad n=1,2,\dotsc$$ donde $[x]$ es la función de valor entero.

De hecho, si $q=\frac{\sqrt{5}+1}2$ entonces $q^2-q=1$ para que podamos verificar $$[q[qn]]+1=[q^2n],\qquad n=1,2,\dotsc$$ y creo que $q=\frac{\sqrt{5}+1}2$ es la única solución de la ecuación.

Ahora sólo he probado $1.6125\leq q\leq 1.6190$ Todavía le queda un largo camino por recorrer.

Answer 1

Primero, reduzcamos esto a una pregunta sobre partes fraccionarias. Primero reescribimos la ecuación como sigue: $$[q^2n-q\{qn\}]+1=q^2n-\{q^2n\}$$ O, lo que es lo mismo, $$q^2n-\{q^2n\}-1 \leq q^2n-q\{qn\}<q^2n-\{q^2n\}$$ Entonces, haciendo cancelaciones, reducimos a $$\{q^2n\}+1 \geq q\{qn\} >\{q^2n\}.$$ Ahora, podemos intentar meternos en problemas: La razón por la que esto funciona para la proporción áurea es que $\{\varphi^2n\}=\{\varphi n\}$ , lo que hace que esto sea más sencillo. Obsérvese también que, si $q$ se escribe racionalmente como $q=a/b$ y, a continuación, establecer $n=b^2$ viola la desigualdad del derecho, por lo que $q$ debe ser irracional. Entonces, asumiendo $q$ es irracional, nuestra condición es equivalente a la siguiente condición (cerrada): $$\{q^2n\}+1 \geq q\{qn\} \geq \{q^2n\}.$$

Ahora todo lo que importa es el conjunto $S=\{(\{q^2n\},\{qn\}):n\in\mathbb N\}$ y $q$ mismo. Exigimos que se cumpla lo siguiente para todos $(x,y)\in S$ : $$x+1 \geq qy\geq x.$$ Ahora bien, obsérvese que si definimos $\bar S$ como el cierre de $S$ esta condición debe seguir manteniéndose $\bar S$ .

Resulta que, ya sea por el trabajo de campo o por saber algo de aproximación diofantina, observando que $q$ es irracional - que $\bar S$ siempre será un conjunto de la forma $\{(\{\alpha\},\{c\alpha\}):\alpha\in \mathbb R\}$ , donde $c$ es racional (y donde tomamos el cierre de este conjunto en $[0,1]\times [0,1]$ ) o debe ser todo $[0,1]\times [0,1]$ .

Obsérvese en primer lugar que $(1,1)\in \bar S$ en cualquier caso, por lo que obtenemos que $2\geq q\geq 1$ donde podemos hacer estas desigualdades estrictas ya que $q$ es irracional. Entonces, observe que si $(x,0)\in \bar S$ entonces $x=0$ ya que, de lo contrario, se violaría la condición. Entonces, supongamos que $(1,y)$ está en $\bar S$ ; llegamos aquí que $qy\geq 1$ . Desde $q<2$ Esto implica $y>1/2$ pero a menos que $y=1$ también obtendríamos que $(1,1-y)$ está en $\bar S$ de ver los posibles casos de $\bar S$ - pero $1-y<1/2$ . Por lo tanto, debe ser que $y=1$ en este caso.

Por lo tanto, hemos establecido que la intersección de $\bar S$ con el límite del cuadrado $[0,1]\times [0,1]$ es sólo $(0,0)$ y $(1,1)$ . En particular, este análisis nos da que $\bar S=\{(x,x):0\leq x \leq 1\}$ . Esto sólo puede ocurrir si $\{q^2\}=\{q\}$ . Por último, esto ocurre para las soluciones de $q^2-q-n$ . La solución a esto es $q=\frac{1\pm\sqrt{1+4n}}{2}$ . Entonces, la única solución para $q$ en el intervalo $(1,2)$ est $q=\varphi$ , por lo que este es el único número con esta propiedad.