¿Cómo puedo completar esta identidad?

Question

Me han dado esta identidad:

$(A \bigtriangleup B) \cap C = (C \backslash A) \bigtriangleup ???$

Alguna pista sobre lo que podría utilizar para rellenar el $???$ ? El conjunto definido por la parte izquierda de la identidad es el zona amarilla y el del lado derecho (el incompleto) es el zona azul . Esto es lo que he probado:

$(x \in A \vee x \in B) \wedge \neg(x \in A \wedge x \in B) \wedge x \in C = (x \in C \wedge x \notin A) \vee ...$

No consigo averiguar cómo continuar la parte correcta... ¿alguna idea?

Answer 1

Utilizaré una definición alternativa de la diferencia simétrica. Quizás esto te sirva. ¡Tengan paciencia! Puedes hacer esto sin saber de antemano lo que buscas exactamente. $$\begin{align} x\in (A\triangle B) \cap C &\iff [(x \in A \land x\notin B)\lor (x\in B\land x\notin A)]\land x\in C\\ \\ & \iff [x \in A \land x\notin B \land x\in C]\lor [x\in B\land x\notin A \land x\in C] \\ \\ & \iff [x\in A \lor (x\in B \land x\notin A\land x\in C)] \\ &\qquad \land [x\notin B \lor (x\in B \land x\notin A \land x\in C)] \\ &\qquad \land[x\in C \lor (x\in B \land x\notin A \land x\in C)]\\ \\ \quad \cdots\end{align}$$

El conjunto final, inmediatamente anterior, se reduce a $\land (x\in C)$ .

Answer 2

Una pista: $(U \Delta V) \Delta U = V$ .

Answer 3

Mira las cifras. El $\bigtriangleup$ le da todo lo que está en uno pero no en ambos operandos. Para pasar de la zona azul a la amarilla, necesitas (1) quitar algo (la parte inferior) y (2) añadir algo (lo que es amarillo en el panel de la izquierda pero no azul en el de la derecha). ¿Puedes expresar (1) y (2) de forma independiente? ¿Puedes expresar su unión? Esto es lo que necesitas para " $\bigtriangleup$ " con la zona azul, es decir, el lado derecho.