En la imagen de Heisenberg (utilizando las dimensiones naturales): $$ O_H = e^{iHt}O_se^{-iHt}. \tag{1} $$ Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, entonces podemos tomar una derivada parcial de ambos lados con respecto al tiempo: $$ \partial_t{O_H} = iHe^{iHt}O_se^{-iHt}+e^{iHt}\partial_tO_se^{-iHt}-e^{iHt}O_siHe^{-iHt}. \tag{2} $$ Por lo tanto, $$ \partial_t{O_H} = i[H,O_H]+(\partial_tO_s)_H \, , \tag{3} $$ pero esto no es equivalente a lo que muchos libros de texto enumeran como la ecuación de movimiento de Heisenberg. En su lugar, afirman que $$ \frac{d}{dt}{O_H} = i[H,O_H]+(\partial_tO_s)_H. \tag{4} $$ ¿Por qué, en general, es cierta esta afirmación y no la anterior? ¿Estoy siendo pedante con el uso de las derivadas parciales y totales?
Respuestas
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Con algunas definiciones para explicitar las dependencias temporales, su ecuación (4) puede tener sentido. Tomemos lo siguiente:
Dejemos que $O_s$ ser un operador que depende del tiempo y de otros parámetros $O_s:\mathbb{R}\times S\rightarrow \mathrm{Op}$ , donde $S$ es el espacio de los otros parámetros y $\mathrm{Op}$ es el espacio de operadores en el espacio de Hilbert. Sea $\phi:\mathbb{R}\times\mathrm{Op}\rightarrow\mathrm{Op}$ denotan la evolución temporal de los operadores en la imagen de Heisenberg, dada por $\phi_t(O)=e^{iHt}Oe^{-iHt}$ .
Tenga en cuenta que $(\partial_t \phi)_t(O)=i[H,\phi_t(O)]$ y $\partial_O\phi=\phi$ (porque $\phi$ es lineal en $O$ ). Ahora, dado un parámetro $p\in S$ podemos definir la función del tiempo: $O_H:\mathbb{R}\rightarrow \mathrm{Op}$ con $O_H(t)=\phi_t(O_s(t,p))$ . Nuestra función $O_H$ es de un solo parámetro, por lo que sólo tiene sentido tomar su derivada total: \begin{align} \frac{dO_H}{dt}(t)=&(\partial_t\phi)_t(O_s(t,p))+(\partial_O\phi)_t\left[(\partial_tO_s)(t,p)\right]\\ =& i[H,\phi_t(O_s(t,p))]+\phi_t\left[(\partial_tO_s)(t,p)\right]\\=& i[H,O_H(t)]+e^{iHt}(\partial_tO_s)(t,p)e^{-iHt}, \end{align}
donde en el primer paso he aplicado la regla de la cadena y en los otros, las igualdades que ya teníamos.
No, no estás siendo "sólo" pedante con tu mal uso de las derivadas parciales: tus ecuaciones (2) y (3) son totalmente erróneas. Simplemente no has aplicado bien las definiciones, como ha señalado @WeinEld. (Podrías haberte ahorrado disgustos si hubieras ilustrado tu misma pregunta para un sistema sencillo, como el SHO).
$$ O_H \equiv e^{iHt}O_se^{-iHt} , $$ por lo que para $$ O_S=f(x,p;t) \qquad \Longrightarrow \qquad O_H=f(x(t),p(t);t), $$ donde $x(t)= e^{iHt}xe^{-iHt} $ y lo mismo para p .
La derivada temporal de $O_H$ consiste en la derivada parcial con respecto a t después del punto y coma, más el derivada convectiva debido al flujo de x y p en la imagen de Heisenberg, $$ \frac{\partial O_H}{\partial x(t)} \dot{x} + \frac{\partial O_H}{\partial p(t)} \dot{p} = i[H,O_H] = e^{iHt}(i[H,O_S])e^{-iHt}. $$ (¡Demuéstralo! Si no lo haces, la discusión es todo vapor).
La derivada parcial es $$ \frac{\partial O_H}{\partial t}=e^{iHt} \frac{\partial O_S}{\partial t}e^{-iHt}=\left (\frac{\partial O_S}{\partial t}\right ) _H. $$ (Algunos lo expresan como $ \frac{\partial O_H}{\partial t}$ Confiando en que el lector entienda bien la evidente diferenciación de sólo el argumento después del punto y coma, pero esta misma cuestión puede hacerles Piénsalo dos veces . Ahora, para estar seguros, ya que $O_S$ tiene una derivada convectiva evanescente, $dO_S/dt=\partial O_S/\partial t$ como se ha planteado en un comentario, por lo que no es un problema).
En cualquier caso, si se juntan las dos piezas se obtiene lo convencional $$ \frac{d}{dt}{O_H} = i[H,O_H]+(\partial_tO_s)_H. $$
Controlar el comportamiento evidente de un observable simple como $O_S=tx$ en el SHO, $H=(p^2+x^2)/2 $ la célebre rotación rígida de tipo clásico en el espacio de fase, $x(t)=x\cos t +p \sin t$ , $p(t)=p\cos t - x \sin t$ por lo tanto $O_H=tx(t)$ . Por lo tanto, $dO_H/dt= t p(t)+x(t)$ : ahora se aprecian las eficiencias y las diferencias de los respectivos cuadros. (Por ejemplo $$dO_H/dt=\exp(itH) (it[p^2/2,x] + x)\exp(-itH)=e^{it~[(x^2+p^2)/2,}~ (tp + x)~,$$ con la habitual evasión de los físicos de los matemáticos ad notación cartográfica).
Puedes orientarte pensando en la imagen S como el marco euleriano, y en la imagen H como el marco lagrangiano, comoving.
