Un buen resumen (y tal vez una derivación) de las transformaciones de Poincaré de los armónicos esféricos vectoriales

Question

Con $Y_{lm}(\vartheta,\varphi)$ siendo los armónicos esféricos y $z_l^{(j)}(r)$ siendo las funciones esféricas de Bessel ( $j=1$ ), funciones Neumann ( $j=2$ ) o las funciones de Hankel ( $j=3,4$ ) que define $$\psi_{lm}^{(j)}(r,\vartheta,\varphi)=z_l^{(j)}(r)Y_{lm}(\vartheta,\varphi),$$ qué son las representaciones de las transformaciones de Poincaré aplicadas a los armónicos esféricos vectoriales

$$\vec L_{lm}^{(j)} = \vec\nabla \psi_{lm}^{(j)},\\ \vec M_{lm}^{(j)} = \vec\nabla\times\vec r \psi_{lm}^{(j)},\\ \vec N_{lm}^{(j)} = \vec\nabla\times\vec M_{lm}^{(j)}$$

? ¿Hay alguna publicación que cubra todas las transformaciones de Poincaré, es decir, no sólo las traslaciones y rotaciones, sino también los aumentos de Lorentz? Preferiría una publicación que cubriera todas las transformaciones a la vez debido a las diferentes normalizaciones que se utilizan a veces.

Answer 1

Desgraciadamente, no estoy familiarizado con la literatura óptica sobre este tipo de dispersión, así que no sé dónde estaría disponible este resultado en la literatura. Parece que los artículos de Stein y de Cruzan no están en línea. Sólo puedo hacer una sugerencia de cómo rederivar las fórmulas de transformación de forma independiente.

Un punto de partida prometedor es la expansión de una onda plana en armónicos esféricos que puede encontrarse como fórmula (10.43) en la sección 10.3 del libro de texto de Jackson sobre Electrodinámica, en su tercera edición. Multiplicándola por $e^{-i\omega t}$ en ambos lados da $$ e^{-i\omega t + i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} = 4\pi e^{-i\omega t} \sum_{l=0}^\infty i^l j_l(kr) \sum_{m=-l}^l Y^*_{lm}(\theta,\phi) Y_{lm}(\theta',\phi') , $$ donde $(r,\theta,\phi)$ y $(k,\theta',\phi')$ son las coordenadas esféricas de los vectores $\mathbf{r}$ y $\mathbf{k}$ respectivamente. El lado izquierdo da esencialmente las funciones $\psi^{(1)}_{lm}(r,\theta,\phi)$ que le interesa, cuando se amplía en la base de $Y_{lm}(\theta',\phi')$ . No estoy seguro de qué expresiones generarían $\psi^{(j)}_{lm}(r,\theta,\phi)$ para su otro $j$ -casos.

El mismo lado izquierdo también se transforma muy bien con respecto a las transformaciones de Poincaré. Creo que deberías poder utilizar esa propiedad para obtener las fórmulas de transformación que necesitas. Por ejemplo, si consideras la traslación por $\mathbf{r}=\mathbf{s}+\mathbf{d}$ con $(s,\chi,\eta)$ las coordenadas esféricas de $\mathbf{s}$ , se obtiene $$ e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} = e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{d}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{s}} . $$ Expandiendo cada una de las exponenciales en la base de $Y_{lm}(\theta',\phi')$ y utilizando el Fórmula de Clebsch-Gordan para los productos expansivos de los armónicos esféricos dará una fórmula para $\psi^{(1)}_{lm}(r,\theta,\phi)$ en términos de $\psi^{(1)}_{l'm'}(s,\chi,\eta)$ .

Las transformaciones de Lorentz podrían tratarse de forma similar.