Estoy resolviendo algunos problemas de autoestudio. Estoy atascado en este ejercicio:
Dejemos que $f:X\to Y$ y considerar $G:=\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ el gráfico de $f$ como un subespacio de $X\times Y$ con la topología del producto. Si $f$ es cerrada y continua, entonces las proyecciones $\pi_X:G\to X$ y $\pi_Y:G\to Y$ están cerradas.
Esto es lo que hice:
Dejemos que $K$ sea un conjunto cerrado de $G$ . Nos gustaría demostrar que $\pi_X(K)$ es un subconjunto cerrado de $X$ .
Como $K$ está cerrado en $G$ entonces $(G-K)$ es un subconjunto abierto de $G$ y porque están considerando $G$ como un subespacio de $X\times Y$ entonces podemos escribir $X-G=(U_x\times U_Y)\cap G$ donde $U_X$ es un conjunto abierto de $X$ y $U_Y$ está en el conjunto abierto de $Y$ .
No sé cómo continuar. No he utilizado ninguna de las hipótesis, pero no está claro cómo hacerlo.
Cualquier pista es bienvenida.
Gracias.
